《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

14. 甲、乙两个学校的校篮球队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当某队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立．
（1）求甲队主场二连胜的概率；
（2）求出现比分 1∶1 的概率；
（3）求甲队以 4∶1 获胜的概率．

答案： （1）0.36；（2）0.48；（3）0.30
解析：
（1）主场二连胜即前两场主场均胜，概率为$0.6×0.6 = 0.36$。
（2）比分 1∶1 即前两场甲胜 1 场负 1 场，概率为$0.6×(1 - 0.6) + (1 - 0.6)×0.6 = 0.48$。
（3）甲 4∶1 获胜需前 4 场胜 3 场、第 5 场胜。前 4 场主主客客（主场胜率 0.6，客场 0.5），乙胜 1 场在前 4 场：
- 乙胜第 1 场（主场）：$(1 - 0.6)×0.6×0.5×0.5 = 0.06$；
- 乙胜第 2 场（主场）：$0.6×(1 - 0.6)×0.5×0.5 = 0.06$；
- 乙胜第 3 场（客场）：$0.6×0.6×(1 - 0.5)×0.5 = 0.09$；
- 乙胜第 4 场（客场）：$0.6×0.6×0.5×(1 - 0.5) = 0.09$。
总概率$0.06 + 0.06 + 0.09 + 0.09 = 0.30$。