《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

三、解答题
12. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$a_1 = 29$，$S_{10} = S_{20}$。这个数列的前多少项和最大？并求此最大值.

答案： 前15项和最大，最大值为225
解析：$S_{10} = S_{20}$，则$a_{11} + \cdots + a_{20} = 0$，即$5(a_{15} + a_{16}) = 0$，$a_{15} + a_{16} = 0$。$a_1 = 29$，设公差$d$，$29 + 14d + 29 + 15d = 0$，解得$d = -2$。$a_n = 31 - 2n$，令$a_n \geq 0$，$n \leq 15.5$，故前15项和最大。$S_{15} = 15 × 29 + \frac{15 × 14}{2} × (-2) = 435 - 210 = 225$。

13. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，满足$S_n = 2a_n - 2$。
(1) 求数列$\{a_n\}$的通项公式；
(2) 设$b_n = (2n - 1)a_n$，求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$。

答案：
(1)$a_n = 2^n$；
(2)$T_n = (2n - 3)2^{n + 1} + 6$
解析：
(1) $n = 1$时，$a_1 = 2a_1 - 2$，$a_1 = 2$。$n \geq 2$时，$S_n - S_{n - 1} = a_n = 2a_n - 2a_{n - 1}$，$a_n = 2a_{n - 1}$，故$a_n = 2^n$。
(2) $b_n = (2n - 1)2^n$，$T_n = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + (2n - 1)2^n$，$2T_n = 1 \cdot 2^2 + \cdots + (2n - 3)2^n + (2n - 1)2^{n + 1}$，相减得$-T_n = 2 + 2(2^2 + \cdots + 2^n) - (2n - 1)2^{n + 1} = 2 + 2(2^{n + 1} - 4) - (2n - 1)2^{n + 1}$，化简得$T_n = (2n - 3)2^{n + 1} + 6$。

四、拓展与提高
14. 1934年，印度数学家森德拉姆发表了“森德拉姆筛法(Sieve of Sundaram)”：
$\begin{array}{cccccc}4 & 7 & 10 & 13 & 16 & \cdots \\7 & 12 & 17 & 22 & 27 & \cdots \\10 & 17 & 24 & 31 & 38 & \cdots \\13 & 22 & 31 & 40 & 49 & \cdots \\16 & 27 & 38 & 49 & 60 & \cdots \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\end{array}$
(1) “森德拉姆筛法”中位于第100行的第100个数是多少？

答案：
(1)20200
解析：第$m$行首项为$3m + 1$，公差为$2m + 1$，第$m$行第$n$个数为$3m + 1 + (n - 1)(2m + 1)$。$m = 100$，$n = 100$时，$3 × 100 + 1 + 99 × (2 × 100 + 1) = 301 + 99 × 201 = 20200$。