《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

一、填空题
1. 函数$y = x^2 - \sin x$在区间$[0, \pi]$上的平均变化率为__________.

答案： $\pi$
解析：平均变化率$\frac{f(\pi) - f(0)}{\pi - 0} = \frac{(\pi^2 - \sin \pi) - (0 - \sin 0)}{\pi} = \frac{\pi^2}{\pi} = \pi$。

2. 若物体位移$s$和时间$t$满足函数关系$s = 100t - 5t^2(0 ＜ t ＜ 20)$，则当$t = 2$时，物体的瞬时速度为__________.

答案： 80
解析：$v = s' = 100 - 10t$，$t = 2$时，$v = 100 - 20 = 80$。

3. 若$y = f(x)$在$x = 2$处的导数值为4，则$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(2 + 2h) - f(2)}{h} = $__________.

答案： 8
解析：原式$= 2\lim\limits_{2h \to 0} \frac{f(2 + 2h) - f(2)}{2h} = 2f'(2) = 2 × 4 = 8$。

4. 计算：$\lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin(h + \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}}{h} = $__________.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析：原式为$f(x) = \sin x$在$x = \frac{\pi}{6}$处的导数，$f'(x) = \cos x$，$f'(\frac{\pi}{6}) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

5. 设函数$y = f(x)$的导函数为$y = f'(x)$，若$f(x) = \cos x - f'(\frac{\pi}{6})x$，则$f(\frac{\pi}{2}) = $__________.

答案： $\frac{\pi}{8}$
解析：$f'(x) = -\sin x - f'(\frac{\pi}{6})$，令$x = \frac{\pi}{6}$，$f'(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} - f'(\frac{\pi}{6})$，解得$f'(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{4}$。$f(x) = \cos x + \frac{1}{4}x$，$f(\frac{\pi}{2}) = 0 + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8}$。

6. 若曲线$y = 2x^3 - 3x$，过点$M(0, 32)$作曲线的切线，则切线的方程为__________.

答案： $y = 21x + 32$
解析：设切点$(x_0, 2x_0^3 - 3x_0)$，$y' = 6x^2 - 3$，切线斜率$6x_0^2 - 3$。切线方程$y - (2x_0^3 - 3x_0) = (6x_0^2 - 3)(x - x_0)$，过$(0, 32)$，得$32 - 2x_0^3 + 3x_0 = -6x_0^3 + 3x_0$，解得$x_0 = -2$，斜率$21$，切线方程$y = 21x + 32$。

7. 已知函数$y = f(x)$的表达式为$f(x) = \sin x - ae^{x - 1}$，$a \in \mathbf{R}$。定义$y = f(x)$的导函数为$y = f^{(1)}(x)$，$y = f^{(1)}(x)$的导函数为$y = f^{(2)}(x)$，$\cdots$，以此类推，若$f^{(2025)}(0) = 0$，则实数$a$的值为__________.

答案： $e$
解析：$f^{(1)}(x) = \cos x - ae^{x - 1}$，$f^{(2)}(x) = -\sin x - ae^{x - 1}$，$f^{(3)}(x) = -\cos x - ae^{x - 1}$，$f^{(4)}(x) = \sin x - ae^{x - 1}$，周期4。$2025 = 4 × 506 + 1$，$f^{(2025)}(x) = f^{(1)}(x)$，$f^{(2025)}(0) = 1 - \frac{a}{e} = 0$，$a = e$。

8. 若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = \begin{cases} \frac{1}{n(n + 2)}, & n 为奇数, \\ n - 7, & n 为偶数, \end{cases}$则数列$\{a_n\}$的前15项和$S_{15}$的值为__________.

答案： $\frac{127}{17}$
解析：奇数项和$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{17}) = \frac{8}{17}$，偶数项和$\frac{7(-5 + 7)}{2} = 7$，$S_{15} = \frac{8}{17} + 7 = \frac{127}{17}$。