《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

9. 若直线$l_{1}$与$l_{2}$不重合，则“直线$l_{1}$与$l_{2}$的斜率相等”是“直线$l_{1}$与$l_{2}$平行”的______条件.
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既非充分又非必要

答案： B
解析：斜率相等且不重合则平行（充分）；平行不一定斜率相等（可能都无斜率），故必要非充分，选B。

10. 若直线$l_{1}:x - y -1=0$，动直线$l_{2}:(k+1)x + ky + k=0(k\in\mathbf{R})$，则下列结论错误的是（ ）
A. 存在$k$，使得$l_{2}$的倾斜角为$\frac{\pi}{2}$
B. 对任意的$k$，$l_{1}$与$l_{2}$都有公共点
C. 对任意的$k$，$l_{1}$与$l_{2}$都不重合
D. 对任意的$k$，$l_{1}$与$l_{2}$都不垂直

答案： C
解析：A. $k=0$时，$l_{2}:x=0$，倾斜角$\frac{\pi}{2}$，正确；B. 联立方程有解，正确；C. $k=-\frac{1}{2}$时，$l_{2}:x - y -1=0$与$l_{1}$重合，错误；D. 斜率乘积不可能为$-1$，正确，选C。

11. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为$B(-2,0)$，若将军从点$A(-\frac{1}{3},0)$处出发，河岸线所在直线方程为$x + 2y=3$，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. $\frac{\sqrt{145}}{3}$
B. 5
C. $\frac{\sqrt{135}}{3}$
D. $\frac{16}{3}$

答案： A
解析：$A$关于直线$x + 2y=3$的对称点$A'(x,y)$，由$\frac{x-\frac{1}{3}}{2}+2\cdot\frac{y+0}{2}=3$和$\frac{y}{x+\frac{1}{3}}=2$，解得$A'(1,\frac{8}{3})$，最短路程为$|A'B|=\sqrt{(-2-1)^{2}+(0-\frac{8}{3})^{2}}=\frac{\sqrt{145}}{3}$，选A。

12. 已知直线$l_{1}:(2a+1)x-(a+2)y + 3=0$，直线$l_{2}:(a-1)x + 2y + 2=0$.
（1）若$l_{1}// l_{2}$，求实数$a$的值；
（2）若$l_{1}\perp l_{2}$，求实数$a$的值.

答案： （1）由$l_{1}// l_{2}$得$(2a+1)\cdot2=-(a+2)(a-1)$，解得$a=0$或$a=-5$，经检验$a=-5$时重合，故$a=0$。
（2）由$l_{1}\perp l_{2}$得$(2a+1)(a-1)+(-(a+2))\cdot2=0$，解得$a=\frac{5}{2}$或$a=-1$。