《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

12. 设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，P、Q分别是这个空间四边形两条对边BD、AC的中点．
（1）若$AC = 6$，$BD = 6$，$EG = 3$，求异面直线AC与BD所成的角的大小；
（2）求证：EG、FH、PQ相交于同一点．

答案： （1）$120^\circ$；（2）见解析
解析：
（1）EG是$\triangle ABC$中位线，$EG // AC$，同理$EH // BD$，$\triangle EGH$中，$EG = 3$，$EH = 3$，$GH = 3$，$\angle GEH = 120^\circ$，即AC与BD所成角为$120^\circ$。
（2）EG、FH交于中点O，PQ也过O，故三线共点。

13. 如图，在四棱锥$P - ABCD$中，底面ABCD为平行四边形，$\triangle PCD$为等边三角形，平面$PAC \perp$平面PCD，$PA \perp CD$，$CD = 2$，$AD = 3$．
（1）设G、H分别为PB、AC的中点，求证：$GH //$平面PAD；
（2）求证：$PA \perp$平面PCD；
（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．

答案： （1）见解析；（2）见解析；（3）$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析：
（1）连BD，H为AC中点，则H为BD中点，GH为$\triangle PBD$中位线，$GH // PD$，故$GH //$平面PAD。
（2）平面$PAC \perp$平面PCD，交线为PC，作$PA \perp PC$，则$PA \perp$平面PCD。
（3）$V_{D - PAC} = V_{P - ACD}$，设AD与平面PAC所成角为$\theta$，$\sin\theta = \frac{h}{AD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。