《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. “$a ＞ b$”是“$ac^2 ＞ bc^2$”的______条件.

答案： 必要非充分
解析：$a ＞ b$时，若$c = 0$，则$ac^2 = bc^2$，故不充分；$ac^2 ＞ bc^2$时，$c^2 ＞ 0$，则$a ＞ b$，故必要。

2. 关于$x$的方程$ax = a^2 + x - 1$有唯一解的充要条件是______.

答案： $a \neq 1$
解析：方程整理为$(a - 1)x = a^2 - 1$，当$a - 1 \neq 0$即$a \neq 1$时，有唯一解$x = a + 1$；当$a = 1$时，方程为$0x = 0$，有无穷多解。

3. 已知实数$x$，若$x_1 + x_2 = 3$，$x_1^2 + x_2^2 = 5$，则以$x_1$、$x_2$为根的一元二次方程是______.

答案： $x^2 - 3x + 2 = 0$
解析：$x_1 x_2 = \frac{(x_1 + x_2)^2 - (x_1^2 + x_2^2)}{2} = \frac{9 - 5}{2} = 2$，故方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$。

4. 若$m ＜ 2$，则关于$x$的不等式$(m - 2)x ＜ 1 - m$的解集为______.

答案： $\left\{x \mid x ＞ \frac{1 - m}{m - 2}\right\}$
解析：$m ＜ 2$时，$m - 2 ＜ 0$，不等式两边除以负数，不等号变向，解集为$x ＞ \frac{1 - m}{m - 2}$。

5. 若$x \in \mathbf{R}$，则$a = \frac{1}{2}$与$b = \frac{x}{1 + x^2}$的大小关系为______.

答案： $a \geq b$
解析：$1 + x^2 \geq 2|x|$，则$\frac{|x|}{1 + x^2} \leq \frac{1}{2}$，即$-\frac{1}{2} \leq \frac{x}{1 + x^2} \leq \frac{1}{2}$，故$a \geq b$。

6. 若$2 ＜ a ＜ 3$，$-2 ＜ b ＜ -1$，则$2a - b$的取值范围是______.

答案： $(5, 8)$
解析：$2 ＜ a ＜ 3$得$4 ＜ 2a ＜ 6$；$-2 ＜ b ＜ -1$得$1 ＜ -b ＜ 2$，故$4 + 1 ＜ 2a - b ＜ 6 + 2$，即$5 ＜ 2a - b ＜ 8$。

7. 若关于$x$的方程$x^4 - ax^2 + 1 = 0$有实数根，则实数$a$的取值范围是______.

答案： $[2, +\infty)$
解析：令$t = x^2 \geq 0$，方程为$t^2 - at + 1 = 0$，有非负实根。$\Delta = a^2 - 4 \geq 0$得$a \geq 2$或$a \leq -2$，$a \leq -2$时两根为负，舍去，故$a \geq 2$。

8. 当一个非空数集$G$满足“如果$a$、$b \in G$，则$a + b$、$a - b$、$ab \in G$，且$b \neq 0$时，$\frac{a}{b} \in G$”时，我们称$G$是一个数域。以下四个关于数域的命题中真命题的是______。
① $0$是任何数域中的元素；
② 若数域$G$中有非零元素，则$2026 \in G$；
③ 集合$P = \{x \mid x = 2k, k \in \mathbf{Z}\}$是一个数域；
④ 有理数集$Q$是一个数域.

答案： ①②④
解析：①取$a \in G$，则$a - a = 0 \in G$；②非零元素$a$，则$1 = \frac{a}{a} \in G$，进而所有整数$\in G$，故$2026 \in G$；③$P$中$\frac{2}{4} = \frac{1}{2} \notin P$，不是数域；④有理数集满足数域定义。

9. 若$a ＞ b ＞ 0$，$c ＜ d ＜ 0$，则下列结论一定成立的是（ ）
A. $a + c ＞ b + d$
B. $a - c ＞ b - d$
C. $ac ＞ bd$
D. $ad ＞ cd$

答案： B
解析：$c ＜ d ＜ 0$得$-c ＞ -d ＞ 0$，则$a + (-c) ＞ b + (-d)$，即$a - c ＞ b - d$，故选B。

10. 已知条件$p$：$(x - m)(x - m - 3) ＞ 0$；条件$q$：$x^2 + 3x - 4 ＜ 0$。若$p$是$q$的必要非充分条件，则实数$m$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty, -7) \cup (1, +\infty)$
B. $(-\infty, -7] \cup [1, +\infty)$
C. $(-7, 1)$
D. $[-7, 1]$

答案： D
解析：解方程组$\begin{cases}x + y = 3k \\ x - y = k + 2\end{cases}$得$x = 2k + 1$，$y = k - 1$。由$x ＞ 0$且$y ＜ 0$得$\begin{cases}2k + 1 ＞ 0 \\ k - 1 ＜ 0\end{cases}$，解得$-\frac{1}{2} ＜ k ＜ 1$，故选D。