《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 函数$y=\frac{1}{2}x^2 - 2x - 3\ln x$的单调增区间为______.

答案： $(3,+\infty)$
解析：函数定义域为$(0,+\infty)$，求导得$y'=x - 2 - \frac{3}{x}=\frac{x^2 - 2x - 3}{x}=\frac{(x - 3)(x + 1)}{x}$.
令$y'＞0$，因为$x＞0$，$x + 1＞0$，所以$x - 3＞0$，解得$x＞3$. 单调增区间为$(3,+\infty)$.

2. 函数$y=x^3 - 12x$的极值点是______.

答案： $x=-2$和$x=2$
解析：求导得$y'=3x^2 - 12=3(x^2 - 4)$. 令$y'=0$，解得$x=\pm2$.
当$x＜-2$时，$y'＞0$；$-2＜x＜2$时，$y'＜0$；$x＞2$时，$y'＞0$.
所以$x=-2$是极大值点，$x=2$是极小值点，极值点为$x=-2$和$x=2$.

3. 函数$y=\frac{1}{3}x^3 - x + 2$,$x\in[0,3]$的最小值为______.

答案： $\frac{4}{3}$
解析：求导得$y'=x^2 - 1$. 令$y'=0$，解得$x=1$（$x=-1\notin[0,3]$舍去）.
计算端点及极值点函数值：$f(0)=2$，$f(1)=\frac{1}{3}×1^3 - 1 + 2=\frac{4}{3}$，$f(3)=\frac{1}{3}×27 - 3 + 2=8$.
比较得最小值为$\frac{4}{3}$.