《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

10. 已知向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$满足$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=2$，$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$，若向量$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$共线，则$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|$的最小值为（ ）
A. $\sqrt{2}$ B. $1$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\frac{1}{2}$

答案： A
解析：设$\overrightarrow{c}=k(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$，则$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|=|(1+k)\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}|$，平方得$(1+k)^2|\overrightarrow{a}|^2+k^2|\overrightarrow{b}|^2=4[(1+k)^2+k^2]=4(2k^2+2k+1)=8(k+\frac{1}{2})^2+2$，最小值为$\sqrt{2}$。

11. 若动点P满足$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}[(1-\lambda)\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}+(1+2\lambda)\overrightarrow{OC}]$（λ∈R），则动点P一定会过△ABC的（ ）
A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. 外心

答案： C
解析：$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}[(1-\lambda)(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+(1+2\lambda)\overrightarrow{OC}]$，令$\lambda=0$，则$\overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}$，即重心坐标公式，故过重心。

12. 已知向量$\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$满足：$|\overrightarrow{x}|=1$，$|\overrightarrow{y}|=2$，且$(\overrightarrow{x}-2\overrightarrow{y})\cdot(2\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})=5$。
（1）求$\overrightarrow{x}$与$\overrightarrow{y}$的夹角θ；
（2）若$(\overrightarrow{x}-m\overrightarrow{y})\perp\overrightarrow{y}$，求实数m的值。

答案： （1）$\frac{\pi}{3}$；（2）$\frac{1}{4}$
解析：（1）$(\overrightarrow{x}-2\overrightarrow{y})\cdot(2\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})=2|\overrightarrow{x}|^2-5\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}+2|\overrightarrow{y}|^2=2-5\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}+8=5$，解得$\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=1$。$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}}{|\overrightarrow{x}||\overrightarrow{y}|}=\frac{1}{2}$，$\theta=\frac{\pi}{3}$。
（2）$(\overrightarrow{x}-m\overrightarrow{y})\cdot\overrightarrow{y}=\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}-m|\overrightarrow{y}|^2=1-4m=0$，解得$m=\frac{1}{4}$。

13. 已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，M是CD上的动点。
（1）计算$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}$的值；
（2）求$(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})\cdot\overrightarrow{MC}$的最小值。

答案： （1）$-100$；（2）$-\frac{25}{2}$
解析：（1）以C为原点，$C(0,0)$，$A(6,0)$，$B(0,8)$，$\overrightarrow{AB}=(-6,8)$，$\overrightarrow{BC}=(0,-8)$，$\overrightarrow{CA}=(6,0)$。$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-64$，$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA}=0$，$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}=-36$，总和$-64+0-36=-100$。
（2）$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MD}$，设$\overrightarrow{CM}=t\overrightarrow{CD}(t\in[0,1])$，$\overrightarrow{CD}=(3,4)$，$\overrightarrow{CM}=(3t,4t)$，$\overrightarrow{MD}=(3-3t,4-4t)$。$(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})\cdot\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MD}\cdot(-\overrightarrow{CM})=2[-(3-3t)(3t)-(4-4t)(4t)]=50(t-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{2}$，最小值为$-\frac{25}{2}$。