《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

14. 定义：若曲线$C_1$和曲线$C_2$有公共点$P$,且曲线$C_1$在点$P$处的切线与曲线$C_2$在点$P$处的切线重合,则称$C_1$与$C_2$在点$P$处“一线切”.
（1）已知圆$(x - a)^2 + y^2=r^2(r＞0)$与曲线$y=x^2$在点$(1,1)$处“一线切”,求实数$a$的值；
（2）设$f(x)=x^2 + 2x + a$,$g(x)=\ln(x + 1)$,若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$在点$P$处“一线切”,求实数$a$的值；
（3）定义在$\mathbf{R}$上的函数$y=f(x)$的图像为连续曲线,函数$y=f(x)$的导函数为$y=f'(x)$,对任意的$x\in\mathbf{R}$,都有$\begin{cases}|f'(x)|\geq|f(x)|, \\ |f(x)|＜\sqrt{2}\end{cases}$成立,是否存在点$P$使得曲线$y=f(x)\sin x$和曲线$y=1$在点$P$处“一线切”？若存在,请求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.

答案： （1）点$(1,1)$在圆上，所以$(1 - a)^2 + 1^2=r^2$.
圆在$(1,1)$处的切线斜率：圆的圆心为$(a,0)$，半径斜率为$\frac{1 - 0}{1 - a}=\frac{1}{1 - a}$，切线斜率为$a - 1$（垂直半径）.
曲线$y=x^2$在$(1,1)$处的切线斜率为$y'=2x|_{x=1}=2$.
由“一线切”得切线斜率相等：$a - 1=2$，解得$a=3$.
（2）设$P(x_0,y_0)$，则$f(x_0)=g(x_0)$且$f'(x_0)=g'(x_0)$.
$f'(x)=2x + 2$，$g'(x)=\frac{1}{x + 1}$，所以$2x_0 + 2=\frac{1}{x_0 + 1}$.
令$t=x_0 + 1$（$t＞0$），则$2t=\frac{1}{t}$，$2t^2=1$，$t=\frac{\sqrt{2}}{2}$（$t=-\frac{\sqrt{2}}{2}$舍去），$x_0=\frac{\sqrt{2}}{2} - 1$.
$y_0=g(x_0)=\ln(\frac{\sqrt{2}}{2})=\ln\sqrt{2} - \ln2=\frac{1}{2}\ln2 - \ln2=-\frac{1}{2}\ln2$.
又$y_0=f(x_0)=x_0^2 + 2x_0 + a=(x_0 + 1)^2 - 1 + a=t^2 - 1 + a=\frac{1}{2} - 1 + a=a - \frac{1}{2}$.
所以$a - \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\ln2$，解得$a=\frac{1}{2}(1 - \ln2)$.
（3）假设存在点$P(x_0,y_0)$，则$y_0=f(x_0)\sin x_0=1$，且切线斜率相等.
曲线$y=1$的切线斜率为0，曲线$y=f(x)\sin x$在$P$处的切线斜率为$f'(x_0)\sin x_0 + f(x_0)\cos x_0=0$.
由$f(x_0)\sin x_0=1$，得$\sin x_0=\frac{1}{f(x_0)}$（$f(x_0)\neq0$）.
代入斜率方程：$f'(x_0)\cdot\frac{1}{f(x_0)} + f(x_0)\cos x_0=0$，即$\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}= - f(x_0)\cos x_0$.
两边取绝对值：$\left|\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}\right|=|f(x_0)||\cos x_0|$.
由已知$|f'(x_0)|\geq|f(x_0)|$，所以左边$\geq1$.
右边：$|f(x_0)||\cos x_0|=|f(x_0)|\sqrt{1 - \sin^2x_0}=|f(x_0)|\sqrt{1 - \frac{1}{f(x_0)^2}}=\sqrt{f(x_0)^2 - 1}$.
因为$|f(x_0)|＜\sqrt{2}$，所以$f(x_0)^2 - 1＜2 - 1=1$，右边$＜1$.
矛盾，故不存在这样的点$P$.