《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 如图，已知$\triangle ABC$的三个顶点分别为$A(4,3)$、$B(1,2)$、$C(3,-4)$.
（1）若点$D$为$BC$的中点，求直线$AD$与直线$AB$的夹角大小；
（2）若$\angle BAC$的平分线为$AE$，求$AE$所在直线的直线方程.

答案： （1）$D(2,-1)$，$k_{AD}=\frac{-1-3}{2-4}=2$，$k_{AB}=\frac{2-3}{1-4}=\frac{1}{3}$，$\tan\theta=\left|\frac{2-\frac{1}{3}}{1+2×\frac{1}{3}}\right|=1$，夹角为$45^{\circ}$。
（2）由角平分线定理$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，设$E(x,y)$，解得$E\left(\frac{3+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}},\frac{-4+2\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)$，直线$AE$方程为$x - y -1=0$。

14. 直线$l$过点$P(3,2)$且与$x$轴、$y$轴正半轴分别交于$A$、$B$两点.
（1）若直线$l$的斜率为$-2$，求$\triangle AOB$的面积；
（2）若$\triangle AOB$的面积$S$满足$12\leq S＜\frac{75}{4}$，求直线$l$的斜率$k$的取值范围；
（3）如图，若点$P$分向量$\overrightarrow{AB}$所成的比的值为$2$，过点$P$作平行于$x$轴的直线交$y$轴于点$M$，动点$E$、$F$分别在线段$MP$和$OA$上，若直线$EF$平分直角梯形$OAPM$的面积，求证：直线$EF$必过一定点，并求出该定点坐标.

答案： （1）直线方程$y=-2x + 8$，$A(4,0)$，$B(0,8)$，面积$S=\frac{1}{2}×4×8=16$。
（2）设$k＜0$，$A\left(3-\frac{2}{k},0\right)$，$B(0,2 - 3k)$，$S=\frac{1}{2}\left(3-\frac{2}{k}\right)(2 - 3k)$，解得$-\frac{1}{2}\leq k＜-\frac{1}{3}$。
（3）$A(9,0)$，$B(0,3)$，$M(0,2)$，设$E(x,2)$，$F(t,0)$，面积平分得$x + t=6$，直线$EF$方程为$\frac{x}{6 - t}+\frac{y}{t}=1$，过定点$(3,1)$。