《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

11. 设 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的平均数是 $\overline{x}$，方差是 $s^2$，设 $p = ns^2$，$q = (x_1 - a)^2 + (x_2 - a)^2 + \cdots + (x_n - a)^2$（$a \in \mathbb{R}$），若 $n \geq 2$，$a \neq \overline{x}$，则一定有（ ）
A. $p ＞ q$
B. $p ＜ q$
C. $p = q$
D. $p = \sqrt{q}$

答案： B
解析：$p = \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$，$q = \sum_{i=1}^n (x_i - a)^2 = \sum_{i=1}^n [(x_i - \overline{x}) + (\overline{x} - a)]^2 = p + n(\overline{x} - a)^2$。因为$a \neq \overline{x}$，所以$q = p + n(\overline{x} - a)^2 ＞ p$，选 B。

12. 为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了 14 天，统计上午 8:00—10:00 间各自的点击量，得如下数据：
甲：73,24,58,72,64,38,66,70,20,41,55,67,8,25；
乙：12,37,21,5,54,42,61,45,19,6,19,36,42,14.
（1）用茎叶图表示上面的数据；
（2）甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少？
（3）从统计的角度考虑，你认为哪个网站更受欢迎？请说明理由．

答案： （1）见解析；（2）$\frac{2}{7}$；（3）甲网站更受欢迎
解析：
（1）茎叶图：
甲：
```
0 | 8
2 | 0 4 5
3 | 8
4 | 1
5 | 5 8
6 | 4 6 7
7 | 0 2 3
```
乙：
```
0 | 5 6
1 | 2 4 9 9
2 | 1
3 | 6 7
4 | 2 2 5
5 | 4
6 | 1
```
（2）甲点击量在[10,40]的有 20,24,25,38，共 4 个，频率为$\frac{4}{14} = \frac{2}{7}$。
（3）甲平均点击量$\overline{x}_甲 = \frac{8 + 20 + 24 + 25 + 38 + 41 + 55 + 58 + 64 + 66 + 67 + 70 + 72 + 73}{14} \approx 48.64$，乙平均$\overline{x}_乙 = \frac{5 + 6 + 12 + 14 + 19 + 19 + 21 + 36 + 37 + 42 + 42 + 45 + 54 + 61}{14} \approx 29.21$，甲平均更高，更受欢迎。