《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

14. (1) 已知$x$、$y \in \mathbf{R}$，比较$x^3 - y^3$与$x^2 y - xy^2$的大小，若相等，请说明等号成立的条件；
(2) 当$0 ＜ a ＜ 1$、$0 ＜ b ＜ 1$、$0 ＜ c ＜ 1$时，求证：$(1 - a)b$、$(1 - b)c$、$(1 - c)a$中至少有一个小于等于$\frac{1}{4}$.

答案：
(1) 当$x ＞ y$时，$x^3 - y^3 ＞ x^2 y - xy^2$；当$x = y$时，相等；当$x ＜ y$时，$x^3 - y^3 ＜ x^2 y - xy^2$；
(2) 证明见解析
解析：
(1) 作差得$(x - y)(x^2 + y^2)$，故$x ＞ y$时差为正，$x = y$时差为零，$x ＜ y$时差为负。
(2) 假设都大于$\frac{1}{4}$，则$(1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c ＞ \frac{1}{64}$，但$(1 - t)t \leq \frac{1}{4}$，乘积$\leq \frac{1}{64}$，矛盾，故至少有一个小于等于$\frac{1}{4}$。