《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

10. 已知函数$ y=f(x) $和$ y=g(x) $，其中$ f(x)=a^{x}-2(a＞0,且a\neq1)、g(x)=\log_{\frac{1}{a}}(x+2) $，若函数$ y=f(x) $的图像不经过第一象限，则函数$ y=g(x) $的图像不经过（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： D
解析：$ f(x) $不经过第一象限，则$ 0＜a＜1 $（$ a＞1 $时$ x\to+\infty $，$ f(x)\to+\infty $）. $ g(x)=\log_{b}(x+2)(b=\dfrac{1}{a}＞1) $，过$ (-1,0) $，$ x=0 $时$ g(0)=\log_{b}2＞0 $，$ x=-3/2 $时$ g(x)=\log_{b}(1/2)＜0 $，图像经过第一、二、三象限，不经过第四象限. 选D.

11. 已知函数$ y=f(x) $的表达式$ f(x)=\begin{cases} x^{2},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\leqslant1, \\ |\log_{2}(x-1)|,\ \ \ x＞1. \end{cases} $若$ f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})=f(x_{4}) $（其中$ x_{1}＜x_{2}＜x_{3}＜x_{4} $），则$ \dfrac{4}{x_{4}+1}+(x_{1}+x_{2}+2)x_{3} $的取值范围是（ ）
A. $ \left( 3,\dfrac{10}{3} \right) $
B. $ \left( 4,\dfrac{16}{3} \right) $
C. $ \left( 3,\dfrac{10}{3} \right] $
D. $ \left[ 4,\dfrac{16}{3} \right) $

答案： D
解析：设$ f(x)=k\in(0,1] $，则$ x_{1}=-\sqrt{k},x_{2}=\sqrt{k},x_{3}=1+2^{-k},x_{4}=1+2^{k} $. 表达式为$ \dfrac{4}{2+2^{k}}+2(1+2^{-k}) $，令$ t=2^{k}\in(1,2] $，化简得$ \dfrac{2}{t+1}+2+\dfrac{2}{t} $，在$ t\in(1,2] $递减，取值范围$ [4,\dfrac{16}{3}) $. 选D.

三、解答题
12. 已知幂函数$ y=x^{m}(m\in\mathbf{R}) $经过点$ \left( 4,\dfrac{1}{2} \right) $.
（1）求此幂函数的表达式和定义域；
（2）已知点$ A(a+2,y_{1})、B(3-2a,y_{2})(a\in\mathbf{R}) $在此幂函数的图像上，且满足$ y_{1}＜y_{2} $，求实数$ a $的取值范围.

答案： （1）$ y=x^{-\frac{1}{2}} $，定义域$ (0,+\infty) $；（2）$ \left( \dfrac{1}{3},\dfrac{3}{2} \right) $
解析：（1）$ 4^{m}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow 2^{2m}=2^{-1} \Rightarrow m=-\dfrac{1}{2} $，表达式$ y=x^{-\frac{1}{2}} $，定义域$ (0,+\infty) $.
（2）$ a+2＞0 $且$ 3-2a＞0 \Rightarrow -2＜a＜\dfrac{3}{2} $. 函数单调递减，$ y_{1}＜y_{2} \Rightarrow a+2＞3-2a \Rightarrow a＞\dfrac{1}{3} $. 综上，$ \dfrac{1}{3}＜a＜\dfrac{3}{2} $.

13. 已知函数$ y=f(x) $的表达式为$ f(x)=\log_{a}x $，其中$ a＞0,a\neq1 $.
（1）若$ f(4)=2 $，求方程$ f(2x+1)=af(x) $的解集；
（2）若$ f(1)＞f(2) $，求不等式$ f(x)＞f(x^{2}) $的解集.

答案： （1）$ \{1+\sqrt{2}\} $；（2）$ (1,+\infty) $
解析：（1）$ \log_{a}4=2 \Rightarrow a=2 $，方程为$ \log_{2}(2x+1)=2\log_{2}x \Rightarrow 2x+1=x^{2} \Rightarrow x=1+\sqrt{2} $（$ x＞0 $）.
（2）$ f(1)＞f(2) \Rightarrow 0＜a＜1 $，不等式$ \log_{a}x＞\log_{a}x^{2} \Rightarrow x＜x^{2} $（$ 0＜a＜1 $时对数函数递减），解得$ x＞1 $.