《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 如图，弯曲的河流是近似的抛物线$C$，公路$l$恰好是$C$的准线，$C$上的点$O$到$l$的距离最近，且为$0.4\ km$，城镇$P$位于点$O$的北偏东$30^\circ$处，$|OP|=10\ km$，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路$l$，以便建立水陆交通网.
（1）建立适当的坐标系，求抛物线$C$的方程；
（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头$Q$的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到$0.001\ km$）.

答案： （1）$y^2=\frac{8}{5}x$；（2）最小值约为$9.806\ km$
解析：（1）以$O$为原点，$l$为$x=-\frac{p}{2}$，$O$到$l$距离$\frac{p}{2}=0.4\Rightarrow p=0.8$，方程$y^2=1.6x=\frac{8}{5}x$。
（2）码头$Q$在抛物线上，总长$|PQ|+|QF|$（$F$为焦点），当$P、Q、F$共线时最小。$P(5,5\sqrt{3})$，$F(0.4,0)$，$|PF|\approx9.806\ km$。

14. 已知点$F$是抛物线$y^2=4x$的焦点，动点$P$在抛物线上，设直线$l$与抛物线交于$D、E$两点（$P、D、E$均不重合）.
（1）若$l$经过点$F$，$|DF|=3$，求点$E$的坐标；
（2）若$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{PE}$，证明：直线$DE$过定点；
（3）若$\angle DPF=\angle DEF$且$\angle EDP=\angle EFP$，四边形$DPFE$面积为$\sqrt{2}$，求直线$l$的方程.

答案： （1）$\left(\frac{1}{2},\pm\sqrt{2}\right)$；（2）直线$DE$过定点$\left(\frac{1}{2},0\right)$；（3）$y=x-\frac{1}{2}$或$y=-x+\frac{1}{2}$
解析：（1）$F(1,0)$，$|DF|=3\Rightarrow D(2,\pm2\sqrt{2})$，直线$DF$与抛物线交于$E\left(\frac{1}{2},\mp\sqrt{2}\right)$。
（2）设$D(x_1,y_1)$，$E(x_2,y_2)$，$P(x_0,y_0)$，由$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{PE}$得$y_1+y_2=4/k$，直线$DE:y=kx-\frac{k}{2}$过定点$\left(\frac{1}{2},0\right)$。
（3）由角相等得相似，面积$\sqrt{2}$，解得直线$l:y=\pm\left(x-\frac{1}{2}\right)$。