《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 已知$f(x) = -x^3 + x + 1$，$g(x) = e^{-2x + 1}$。
(1) 求曲线$y = f(x)$在$x = 1$处的切线方程；
(2) 若曲线$y = f(x)$在$x = 1$处的切线与曲线$y = g(x)$在$x = t(t \in \mathbf{R})$处的切线平行，求$t$的值。

答案：
(1)$y = -2x + 3$；
(2)$\frac{1}{2}$
解析：
(1)$f(1) = -1 + 1 + 1 = 1$，$f'(x) = -3x^2 + 1$，$f'(1) = -2$，切线方程$y - 1 = -2(x - 1)$，即$y = -2x + 3$。
(2)$g'(x) = -2e^{-2x + 1}$，由平行得$-2 = -2e^{-2t + 1}$，$e^{-2t + 1} = 1$，$-2t + 1 = 0$，$t = \frac{1}{2}$。

四、拓展与提高
14. 设函数$y = f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的函数，如果对任意的$x_1$、$x_2 \in \mathbf{R}(x_1 \neq x_2)$，$|f(x_1) - f(x_2)| ＜ |x_1 - x_2|$均成立，则称$y = f(x)$是“平缓函数”。
(1) 若$f(x) = x^2$，试判断$y = f(x)$是否为“平缓函数”，并说明理由；
(2) 已知$y = f(x)$的导函数$y = f'(x)$存在，判断下列命题的真假：若$y = f(x)$是“平缓函数”，则$|f'(x)| \leq 1$。并说明理由；
(3) 若函数$y = f(x)$是“平缓函数”，且$y = f(x)$是以1为周期的周期函数，证明：对任意的$x_1$、$x_2 \in \mathbf{R}(x_1 \neq x_2)$，均有$|f(x_1) - f(x_2)| ＜ \frac{1}{2}$。

答案：
(1)不是；
(2)真；
(3)证明见解析
解析：
(1) 取$x_1 = 3$，$x_2 = 2$，$|9 - 4| = 5 ＞ |3 - 2| = 1$，不是平缓函数。
(2) 真。由导数定义，$|f'(x)| = \lim\limits_{h \to 0}|\frac{f(x + h) - f(x)}{h}| \leq \lim\limits_{h \to 0}\frac{|h|}{|h|} = 1$。
(3) 设$|x_1 - x_2| = d$，存在整数$k$，$d = k + r$，$0 \leq r ＜ 1$。$|f(x_1) - f(x_2)| = |f(x_1) - f(x_2 - k)| ＜ r$，若$r ＜ \frac{1}{2}$，得证；若$r \geq \frac{1}{2}$，$|f(x_1) - f(x_2)| = |f(x_2 - k) - f(x_1)| ＜ 1 - r ＜ \frac{1}{2}$。