《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

5. 在$\triangle ABC$中，$a=x,b=3,B=30^\circ$，若该三角形有两解，则$x$的取值范围是_________.

答案： $(3,6)$
三角形有两解条件：$a\sin B＜b＜a\Rightarrow x\sin30^\circ＜3＜x\Rightarrow\frac{x}{2}＜3＜x\Rightarrow3＜x＜6$。

6. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径$A、B$两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点$C、D$，测得$CD=35\ m,\angle ADB=135^\circ,\angle BDC=\angle DCA=15^\circ,\angle ACB=120^\circ$，则$A、B$两点的距离为_________m.

答案： $35\sqrt{3}$
在$\triangle ADC$中，$\angle DAC=15^\circ$，$AD=CD=35$；在$\triangle BDC$中，由正弦定理得$BC=\frac{35\sin15^\circ}{\sin60^\circ}$；在$\triangle ABC$中，余弦定理得$AB=35\sqrt{3}$。

7. 已知锐角$\triangle ABC$，若$AB=2\sqrt{3},C=\frac{\pi}{3}$，则$AB$边上的高的取值范围为_________.

答案： $(2,3]$
$S=\sqrt{3}h$，$S=\frac{1}{2}ab\sin\frac{\pi}{3}$，$a=4\sin A$，$b=4\sin B$，$A\in(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2})$，$S\in(2\sqrt{3},3\sqrt{3}]\Rightarrow h\in(2,3]$。

8. 如图，已知点$C$在点$O$的正北方向，点$A、B$分别在点$O$的正西、正东方向，且$\sin\angle ACB=\frac{4}{7},\sin(A-B)=\frac{2}{7},AB=4$，若$\angle ACB$为锐角，则$OC=$_________.

答案： 3
设$OC=h$，$OA=OB=2$，$\sin\angle ACB=\frac{4}{7}$，$\cos\angle ACB=\frac{\sqrt{33}}{7}$，由三角恒等变换及正余弦定理得$h=3$。

9. 在$\triangle ABC$中，“$\sin A+\cos A＜1$”是“$\triangle ABC$为钝角三角形”的________条件.（ ）
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充分必要
D. 既非充分又非必要

答案： A
$\sin A+\cos A＜1\Rightarrow A＞\frac{\pi}{2}$，充分；钝角三角形可能$B$或$C$为钝角，此时$\sin A+\cos A$可能大于1，非必要。

10. 已知$\triangle ABC$的三个内角$A、B、C$所对的边分别为$a、b、c$，若$\sin^2A+c\sin A=\sin A\sin B+b\sin C$，则该三角形的形状一定是（ ）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 锐角三角形

答案： C
由正弦定理得$a^2+ac=ab+bc\Rightarrow a(a+c)=b(a+c)\Rightarrow a=b$，等腰三角形。

11. 数学必修二介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，与海伦公式等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即$S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^2c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2\right]}$，其中$a、b、c$分别为$\triangle ABC$内角$A、B、C$的对边，若$\frac{1-\sqrt{3}\cos B}{\sqrt{3}\sin B}=\frac{1}{\tan C},b=2$，则$\triangle ABC$面积$S$的最大值为（ ）
A. $\sqrt{3}$
B. $\sqrt{5}$
C. $2$
D. $\sqrt{2}$

答案： A
化简得$\sin A=\frac{\sin B\sin C}{\sqrt{3}}$，由正弦定理及面积公式得$S$最大值为$\sqrt{3}$。