《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 不等式$-2x^2 + x + 3 ＜ 0$的解集为__________.

答案： $(-\infty, -1) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)$
解析：不等式两边同乘$-1$得$2x^2 - x - 3 ＞ 0$，解方程$2x^2 - x - 3 = 0$，判别式$\Delta = 1 + 24 = 25$，根为$x = \frac{1 \pm 5}{4}$，即$x = -1$或$x = \frac{3}{2}$。因为$2 ＞ 0$，所以解集为$x ＜ -1$或$x ＞ \frac{3}{2}$。

2. 不等式$\frac{2x + 1}{x + 2} \geq 1$的解集为__________.

答案： $(-\infty, -2) \cup [1, +\infty)$
解析：移项通分得$\frac{2x + 1 - (x + 2)}{x + 2} \geq 0$，即$\frac{x - 1}{x + 2} \geq 0$，等价于$(x - 1)(x + 2) \geq 0$且$x + 2 \neq 0$，解得$x ＜ -2$或$x \geq 1$。

3. 不等式$|x + 1| + |x - 3| \leq 6$的解集为__________.

答案： $[-2, 4]$
解析：零点分段：$x ＜ -1$时，$-(x + 1) - (x - 3) \leq 6$，解得$x \geq -2$；$-1 \leq x \leq 3$时，$(x + 1) - (x - 3) = 4 \leq 6$恒成立；$x ＞ 3$时，$(x + 1) + (x - 3) \leq 6$，解得$x \leq 4$。综上，解集为$[-2, 4]$。

4. 命题$p$：对任意实数$x$都有$ax^2 + ax + 1 ＞ 0$恒成立。若命题$p$为真，则实数$a$的范围为__________.

答案： $[0, 4)$
解析：$a = 0$时，$1 ＞ 0$恒成立；$a \neq 0$时，需$a ＞ 0$且$\Delta = a^2 - 4a ＜ 0$，解得$0 ＜ a ＜ 4$。综上，$0 \leq a ＜ \4$。

5. 若不等式$ax^2 + bx + c ＜ 0$的解集为$\{x|x ＜ -1$或$x ＞ 3\}$，则不等式$cx^2 - bx + a ＜ 0$的解集为__________.

答案： $\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$
解析：由已知$a ＜ 0$，方程$ax^2 + bx + c = 0$根为$-1$和$3$，韦达定理得$-1 + 3 = -\frac{b}{a}$，$-1 × 3 = \frac{c}{a}$，即$b = -2a$，$c = -3a$。代入$cx^2 - bx + a ＜ 0$得$-3ax^2 + 2ax + a ＜ 0$，两边除以$a$（$a ＜ 0$）得$3x^2 - 2x - 1 ＜ 0$，解集为$\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$。

6. 在$\mathbf{R}$上定义运算$\otimes$：$a \otimes b = ab + 2a + b$，则满足$x \otimes (x - 2) ＜ 0$的实数$x$的取值范围为__________.

答案： $(-2, 1)$
解析：$x \otimes (x - 2) = x(x - 2) + 2x + (x - 2) = x^2 + x - 2$，不等式为$x^2 + x - 2 ＜ 0$，解得$-2 ＜ x ＜ 1$。

7. 若对任意实数$x \in [-1, 1]$，关于$x$的不等式$m^2 - 1 ＞ x(m + 1)$恒成立，则实数$m$的取值范围为__________.

答案： $(-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$
解析：设$f(x) = (m + 1)x - (m^2 - 1)$，$x \in [-1, 1]$。$m = -1$时不成立；$m ＞ -1$时，$f(1) = -m^2 + m + 2 ＜ 0$，解得$m ＞ 2$；$m ＜ -1$时，$f(-1) = -m^2 - m ＜ 0$恒成立。综上，$m ＜ -1$或$m ＞ 2$。