《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

11. 点$ P(x,y) $，定义$ F(P)=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} $，如图为双曲线$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $及渐近线，则关于点 A、B、C，下列结论正确的是（ ）
A. $ F(A) ＞ F(B) ＞ F(C) $
B. $ F(B) ＞ F(C) ＞ F(A) $
C. $ F(A) ＞ F(C) ＞ F(B) $
D. $ F(C) ＞ F(B) ＞ F(A) $

答案： D
解析：C 在双曲线上$ F(C) = 1 $，B 在原点$ F(B) = 0 $，A 在渐近线上方$ F(A) ＜ 0 $，故$ F(C) ＞ F(B) ＞ F(A) $，选 D。

12. 双曲线$ x^2 - \frac{y^2}{b^2}=1(b＞0) $的左、右焦点分别为$ F_1,F_2 $，直线 l 过$ F_2 $且与双曲线交于 A、B 两点.
（1）若双曲线的离心率为 2，求 b 的值；
（2）若 l 的倾斜角为$ \frac{\pi}{2} $，$ \triangle F_1AB $是等边三角形，求双曲线的渐近线方程.

答案： （1）$ \sqrt{3} $；（2）$ y = \pm \sqrt{2}x $
解析：
（1）$ a = 1 $，$ e = 2 = \frac{c}{a} $，$ c = 2 $，$ b^2 = c^2 - 1 = 3 $，$ b = \sqrt{3} $。
（2）l 垂直 x 轴，$ x = c $，代入双曲线得$ y = \pm b^2 $，$ |AB| = 2b^2 $，$ F_1 $到 AB 距离$ 2c $，等边三角形$ 2b^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2c $，$ c = \sqrt{3} $，$ b^2 = 2 $，渐近线$ y = \pm \sqrt{2}x $。

13. 已知 A、B 是双曲线$ C:\frac{x^2}{4}-y^2=1 $的两点，AB 的中点 P 的坐标为$ (4,1) $.
（1）求直线 AB 的方程；
（2）求 A、B 两点间距离.

答案： （1）$ y = x - 3 $；（2）$ \frac{8\sqrt{3}}{3} $
解析：
（1）设$ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) $，$ x_1 + x_2 = 8 $，$ y_1 + y_2 = 2 $；$ \frac{x_1^2}{4}-y_1^2 = 1 $，$ \frac{x_2^2}{4}-y_2^2 = 1 $，相减得$ \frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{4} - (y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 0 $，斜率$ k = 1 $，方程$ y = x - 3 $。
（2）联立双曲线得$ 3x^2 - 24x + 40 = 0 $，$ |AB| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{(8)^2 - 4 \cdot \frac{40}{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} $。