《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

11. 设正数$ a、b、c $不全相等，$ abc=1 $，$ f(x)=(1+a^{x})(1+b^{x})(1+c^{x}) $. 下列判断：
① 对任意$ a、b、c $，函数$ y=f(x) $都为偶函数；
② 对任意$ a、b、c $，函数$ y=f(x) $在$ [0,0.02] $上是严格增函数.
正确的是（ ）
A. ①②都正确
B. ①正确，②错误
C. ①错误，②正确
D. ①②都错误

答案： B
解析：①$ f(-x)=(1+a^{-x})(1+b^{-x})(1+c^{-x})=\dfrac{(1+a^{x})(1+b^{x})(1+c^{x})}{(abc)^{x}}=f(x) $，是偶函数；②取$ a=2,b=2,c=\dfrac{1}{4} $，导数可能为负，非严格增. 选B.

三、解答题
12. 已知$ f(x)=a\cdot2^{x}+\dfrac{1}{2^{x}} $，函数$ y=f(x) $是定义域为$ \mathbf{R} $的偶函数.
（1）求实数$ a $的值；
（2）已知关于$ x $的方程$ 2^{x}\cdot(f(x)+2)-k=0 $在$ x\in[0,+\infty) $上有解，求实数$ k $的取值范围.

答案： （1）$ a=1 $；（2）$ [4,+\infty) $
解析：（1）$ f(-x)=a\cdot2^{-x}+2^{x}=f(x) \Rightarrow a=1 $.
（2）方程化为$ (2^{x}+1)^{2}=k $，$ x\in[0,+\infty) $时$ 2^{x}+1\in[2,+\infty) $，$ k\in[4,+\infty) $.

13. 已知函数$y=f(x)$和$y=g(x)$，其中$f(x)=x^{2}-mx+m$，$g(x)=\frac{x^{2}+3}{x+1}-2$，$m\in\mathbf{R}$。
（1）求函数$y=f(x)$的单调区间和值域；
（2）若对于任意$x_{0}\in[0,1]$，总存在$x_{1}\in[0,1]$，使得$f(x_{0})=g(x_{1})$成立，求$m$的取值范围。

答案： （1）单调递减区间$(-\infty,\frac{m}{2}]$，递增区间$[\frac{m}{2},+\infty)$，值域$[-\frac{m^{2}}{4}+m,+\infty)$；（2）$[0,1]$
解析：（1）$f(x)$对称轴为$x=\frac{m}{2}$，开口向上，故单调区间为$(-\infty,\frac{m}{2}]$递减，$[\frac{m}{2},+\infty)$递增；最小值为$f(\frac{m}{2})=-\frac{m^{2}}{4}+m$，值域$[-\frac{m^{2}}{4}+m,+\infty)$。
（2）$g(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x+1}$，令$t=x+1\in[1,2]$，$g(x)=t+\frac{4}{t}-4$在$[1,2]$递减，值域$[0,1]$。$f(x)$在$[0,1]$值域需为$[0,1]$子集，分$m\leq0$、$0＜m＜2$、$m\geq2$讨论，解得$m\in[0,1]$。