《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

8. 如图，已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为2，若长为2的线段$MN$的一个端点$M$在棱$DD_1$上运动，点$N$在正方体的底面$ABCD$内运动，则$MN$的中点$P$的轨迹与正方体从顶点$D$出发的三个面所围成的几何体的表面积是________．

答案： $\frac{5\pi}{4}$
$P$轨迹为以$D$为球心半径1的球在正方体内的$\frac{1}{8}$球，表面积$3×\frac{1}{4}\pi×1^2+\frac{1}{8}×4\pi×1^2=\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{4}$。

9. 在封闭的直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$内有一个体积为$V$的球，若$AB⊥BC$，$AB=6$，$BC=8$，$AA_1=3$，则该球体积$V$的最大值是（ ）
A. $4\pi$
B. $\frac{9}{2}\pi$
C. $6\pi$
D. $\frac{32}{3}\pi$

答案： B
直三棱柱内切球半径$r=\frac{3}{2}$（高3，底面内切圆半径2，取小者），体积$\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{9}{2}\pi$。

10. 在《九章算术》中，底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马，设$AA_1$是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以$AA_1$为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A. 8
B. 12
C. 16
D. 18

答案： C
每个底面6个顶点，与$AA_1$构成矩形的顶点有4个，上下底面共$4×4=16$个。

11. 在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
A.
B.
C.
D.

答案： B
截面为等腰三角形，钢球截面圆与两腰及底边相切，圆心在高上。

12. 如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形$SAB$，$Q$为底面圆周上一点．
（1）如果$QB$的中点为$C$，$OH⊥SC$，求证：$OH⊥$平面$SBQ$；
（2）如果$\angle AOQ=60°$，$QB=2\sqrt{3}$，求圆锥的体积．

答案： （1）连接$OC$，$C$为$QB$中点，$OC//AQ$，$AB$为直径得$AQ⊥QB$，则$OC⊥QB$，$SO⊥$底面得$SO⊥QB$，$QB⊥$平面$SOC$，$OH⊂$平面$SOC$，$QB⊥OH$，又$OH⊥SC$，故$OH⊥$平面$SBQ$。
（2）设底面半径$r$，$\angle AOQ=60°$，$AQ=r$，$AB=2r$，由余弦定理$(2\sqrt{3})^2=r^2+(2r)^2-2·r·2r·\cos60°$，得$r=2$，$SO=r=2$，体积$\frac{1}{3}\pi r^2·SO=\frac{8\pi}{3}$。