《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 经过点$P(1,\sqrt{3})$、$Q(4,0)$两点的直线$l$的倾斜角$\alpha$为______.

答案： $\frac{5\pi}{6}$
解析：斜率$k=\frac{0-\sqrt{3}}{4-1}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\alpha\in[0,\pi)$，故$\alpha=\frac{5\pi}{6}$。

2. 已知点$A(0,2)$，若点$B$是直线$x+y=0$上的动点，则$|AB|$的最小值是______.

答案： $\sqrt{2}$
解析：最小值为点$A$到直线$x+y=0$的距离，$d=\frac{|0+2|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2}$。

3. 若直线$l$的斜率$k\in[1,\sqrt{3})$，则直线$l$的倾斜角$\theta$的取值范围为______.

答案： $[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3})$
解析：$\tan\theta\in[1,\sqrt{3})$，$\theta\in[0,\pi)$，故$\theta\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3})$。

4. 若直线$l$的倾斜角为$\frac{\pi}{3}$，且在$x$轴上的截距为$-1$，则直线$l$的一般式方程是______.

答案： $\sqrt{3}x - y + \sqrt{3}=0$
解析：斜率$k=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$，过点$(-1,0)$，方程为$y=\sqrt{3}(x+1)$，化为一般式$\sqrt{3}x - y + \sqrt{3}=0$。

5. 若直线$l$过点$(1,2)$，法向量为$\vec{n}=(1,2)$，则$l$的一般式方程为______.

答案： $x + 2y - 5=0$
解析：点法式方程$1\cdot(x-1)+2\cdot(y-2)=0$，化简得$x + 2y - 5=0$。

6. 若直线$3x+4y-3=0$与直线$6x+my+m=0$平行，则实数$m=$______.

答案： 8
解析：由平行得$\frac{3}{6}=\frac{4}{m}\neq\frac{-3}{m}$，解得$m=8$。

7. 若直线$x - ay + 2=0$与直线$ax + 2y=1$所成角的余弦值为$\frac{1}{3}$，则实数$a=$______.

答案： $\pm\sqrt{2}$
解析：夹角公式$\cos\theta=\frac{|1\cdot a + (-a)\cdot2|}{\sqrt{1+a^{2}}\sqrt{a^{2}+4}}=\frac{|a|}{\sqrt{(1+a^{2})(a^{2}+4)}}=\frac{1}{3}$，解得$a^{2}=2$，$a=\pm\sqrt{2}$。