《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

12. （1）已知$x ＜ 2$，求$4x + \frac{1}{x - 2}$的最大值；
（2）已知$x$、$y$均为正实数，且$x + 4y + xy = 5$，求$xy$的最大值。

答案： （1）$4$；（2）$1$
（1）$x ＜ 2$，令$t = 2 - x ＞ 0$，$4x + \frac{1}{x - 2} = 8 - 4t - \frac{1}{t} \leq 8 - 2\sqrt{4t \cdot \frac{1}{t}} = 4$，最大值$4$。
（2）$x + 4y = 5 - xy \geq 4\sqrt{xy}$，设$\sqrt{xy} = t$，则$5 - t^2 \geq 4t$，$t^2 + 4t - 5 \leq 0$，解得$t \leq 1$，$xy$最大值$1$。

13. 某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但妨碍师生出行，还存在严重安全问题。为此学校决定利用原水池改建一个深$3\ m$、底面面积$16\ m^2$的长方体蓄水池。不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被。改建及蓄水池盖的固定费用$800$元，由招标公司承担。现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标。甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米$150$元，地面每平方米$400$元。设水池宽为$x\ m(2 \leq x \leq 6)$。
（1）当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价；
（2）现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为$\frac{900a(x + 2)}{x}$元（$a ＞ 0$）（整体报价中含固定费用）。若无论宽为多少米，乙工程队在竞标成功的前提下，试求$a$的取值范围。

答案： （1）宽$4\ m$，最低报价$14400$元；（2）$(0, 9)$
（1）长$\frac{16}{x}\ m$，四周墙面积$6\left(x + \frac{16}{x}\right)\ m^2$，报价$y = 150 × 6\left(x + \frac{16}{x}\right) + 400 × 16 + 800 = 900\left(x + \frac{16}{x}\right) + 7200$，$x = 4$时$y$最小，$y = 900 × 8 + 7200 = 14400$元。
（2）乙报价低于甲报价，即$\frac{900a(x + 2)}{x} ＜ 900\left(x + \frac{16}{x}\right) + 7200$，化简得$a ＜ x + \frac{16}{x} + 8$，$x + \frac{16}{x} + 8 \geq 16$，$a ＜ 9$，又$a ＞ 0$，范围$(0, 9)$．

（2）现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为$\dfrac{900a(x + 2)}{x}$元$(a＞0)$（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队在竞标成功的前提下，试求$a$的取值范围.

答案： $a\leq\dfrac{104}{9}$
解析：乙队报价需低于甲队报价对$x\in[2,6]$恒成立，即$\dfrac{900a(x + 2)}{x}\leq900\left(x+\dfrac{16}{x}\right)+6400$，
化简得$a\leq x+\dfrac{16}{x}+\dfrac{64}{9}+\dfrac{128}{9x}$（过程略），
当$x=4$时，右边最小值为$\dfrac{104}{9}$，故$a\leq\dfrac{104}{9}$。