《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例1
若$(-a + 3)^{-\frac{1}{3}}＜(4 + 2a)^{-\frac{1}{3}}$，试求实数$a$的取值范围.
【错解】$\because (-a + 3)^{-\frac{1}{3}}＜(4 + 2a)^{-\frac{1}{3}}$，
$\therefore -a + 3＞4 + 2a$，即$a＜-\frac{1}{3}$.
【错因分析】忽视了$y = x^{-\frac{1}{3}}$在定义域上是不单调的.
【正解】先画出函数$y = x^{-\frac{1}{3}}$的大致图象，如图.
$\begin{img class="box_img" from="ques" alt="" page="99" src="https://thumb.zyjl.cn/pic18/2025-02-20/5fc43a37d895affd11e89e4eb4864669.jpg?x-oss-process=image/crop,x_711,y_1059,w_200,h_193/contrast,3" /＞$
$\because (-a + 3)^{-\frac{1}{3}}＜(4 + 2a)^{-\frac{1}{3}}$，
$\therefore \begin{cases}-a + 3＞0, \\ 4 + 2a＞0, \\ -a + 3＞4 + 2a\end{cases}$或$\begin{cases}-a + 3＜0, \\ 4 + 2a＜0, \\ -a + 3＞4 + 2a\end{cases}$或$\begin{cases}4 + 2a＞0, \\ -a + 3＜0\end{cases}$
解得$-2 ＜ a＜-\frac{1}{3}$或$a＞3$. 故实数$a$的取值范围为$(-2,-\frac{1}{3})\cup(3,+\infty)$.
【易错警示】利用幂函数解有关不等式时，需要依据幂函数的性质进行分类讨论. 分类的依据是幂函数的定义域、单调性和奇偶性，且应把各种情况考虑周全，不能遗漏任何一种情况.

答案：

例1
(1)函数$y = x^{\frac{2}{3}}$的定义域是________，值域是________；
(2)函数$y = x^{-\frac{2}{3}}$的定义域是________，值域是________；
(3)函数$y = x^{-\frac{3}{2}}$的定义域是________，值域是________.
【解析】(1)函数$y = x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^{2}}$的定义域是$\mathbf{R}$，值域是$[0,+\infty)$；
(2)函数$y = x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$的定义域是$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，值域是$(0,+\infty)$；
(3)函数$y = x^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$的定义域是$(0,+\infty)$，值域是$(0,+\infty)$.

答案：