《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例5
已知α为第一象限角,试确定2α,$\frac{α}{2}$,$\frac{α}{3}$分别是第几象限角.
【解】∵ α是第一象限角，
∴ k·360°＜α＜90°+k·360°,k∈Z，
∴ k·720°＜2α＜180°+k·720°,k∈Z.
∴ 2α是第一象限角或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角.
对于$\frac{α}{2}$及$\frac{α}{3}$,有如下两种方法.
方法一:k·180°＜$\frac{α}{2}$＜45°+k·180°,k∈Z.
①当k = 2n,n∈Z时,n·360°＜$\frac{α}{2}$＜45°+n·360°,n∈Z,∴ $\frac{α}{2}$为第一象限角；
②当k = 2n + 1,n∈Z时,n·360°+180°＜$\frac{α}{2}$＜225°+n·360°,n∈Z,∴ $\frac{α}{2}$为第三象限角.
综上可知,$\frac{α}{2}$为第一象限角或第三象限角.
同理,k·120°＜$\frac{α}{3}$＜30°+k·120°,k∈Z.
①当k = 3n,n∈Z时,n·360°＜$\frac{α}{3}$＜30°+n·360°,n∈Z,
∴ $\frac{α}{3}$为第一象限角；
②当k = 3n + 1,n∈Z时,n·360°+120°＜$\frac{α}{3}$＜150°+n·360°,n∈Z,∴ $\frac{α}{3}$为第二象限角；
③当k = 3n + 2,n∈Z时,n·360°+240°＜$\frac{α}{3}$＜270°+n·360°,n∈Z,∴ $\frac{α}{3}$为第三象限角.
综上可知,$\frac{α}{3}$为第一象限角或第二象限角或第三象限角.
方法二:分别将各个象限二等分、三等分,从x轴的非负半轴起,按逆时针方向依次循环标上数字1,2,3,4,如图①②所示.
∵ α为第一象限角，
∴ 根据图①中数字1所在的位置,确定出$\frac{α}{2}$为第一象限角或第三象限角;根据图②中数字1所在的位置,确定出$\frac{α}{3}$为第一象限角或第二象限角或第三象限角.

答案：