《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例3 设a∈R，则a＞4的一个必要不充分条件是 ( )
A.a＞1
B.a＜1
C.a＞5
D.a＜5

答案：

[解析]由题意,当a>4时,a>1一定成立;

当a>1成立时,a>4不一定成立.所以“a>1"

是“a>4”的一个必要不充分条件.

[答案]A

例4
求证：“方程x²+(2k - 1)x + k² = 0的两个根均大于1”的充要条件是“k ＜ - 2”.
[证明]①必要性：若方程x²+(2k - 1)x + k² = 0有两个大于1的根，不妨设两个根分别为x₁，x₂，
则$\begin{cases}\Delta=(2k - 1)^2 - 4k^2\geq0, \\(x_1 - 1)+(x_2 - 1)＞0, \\(x_1 - 1)(x_2 - 1)＞0,\end{cases}$即$\begin{cases}k\leq\frac{1}{4}, \\(x_1 + x_2)-2＞0, \\x_1x_2-(x_1 + x_2)+1＞0,\end{cases}$
即$\begin{cases}k\leq\frac{1}{4}, \\-(2k - 1)-2＞0, \\k^2+(2k - 1)+1＞0,\end{cases}$解得k ＜ - 2.
②充分性：当k ＜ - 2时，$\Delta=(2k - 1)^2 - 4k^2 = 1 - 4k＞0$.
设方程x²+(2k - 1)x + k² = 0的两个根分别为x₁，x₂，
则(x₁ - 1)(x₂ - 1)=x₁x₂-(x₁ + x₂)+1=k² + 2k - 1 + 1=k(k + 2)＞0.
又(x₁ - 1)+(x₂ - 1)=(x₁ + x₂)-2=-(2k - 1)-2=-2k - 1＞0，
所以x₁ - 1＞0，x₂ - 1＞0，故x₁＞1，x₂＞1.
综上可知，“方程x²+(2k - 1)x + k² = 0的两个根均大于1”的充要条件是“k ＜ - 2”.

答案：

例5
[四川绵阳2024高一期末]已知集合A = {x|1≤x≤4}，B = {x|2 - m≤x≤2 + m}.
(1)若A∩B = B，求实数m的取值范围；
(2)设p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
[解](1)由A∩B = B可得B⊆A.
①若B = ∅，则2 - m＞2 + m，可得m ＜ 0；
②若B≠∅，则$\begin{cases}2 - m\leq2 + m, \\2 - m\geq1, \\2 + m\leq4,\end{cases}$可得0≤m≤1.
综上所述，实数m的取值范围为{m|m≤1}.
(2)若p：x∈A，q：x∈B，q是p的必要不充分条件，则A真包含于B，故B≠∅，则$\begin{cases}2 - m\leq1, \\2 + m\geq4, \\2 - m\leq2 + m,\end{cases}$且等号不同时成立，解得m≥2.经检验m = 2符合题意，故实数m的取值范围为{m|m≥2}.

答案：