《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例5
已知函数$f(x)=x^{2}+bx + c$的图象关于直线$x = 2$对称，试比较$f(1)$，$f(2)$，$f(4)$的大小.
【解】由题意知$f(x)$图象的对称轴为直线$x = 2$，故$f(1)=f(3)$.
由题意知$f(x)$在$[2,+\infty)$上单调递增，
所以$f(2)\lt f(3)\lt f(4)$，
即$f(2)\lt f(1)\lt f(4)$.

答案：

例6
已知$f(x)$是定义在区间$[-2,2]$上的增函数，若$f(x - 2)\lt f(1 - x)$，求$x$的取值范围.
【解】由题意，得$\begin{cases}-2\leq x - 2\leq2\\-2\leq1 - x\leq2\end{cases}$，
解得$0\leq x\leq3$. ①
因为$f(x)$是定义在区间$[-2,2]$上的增函数，且$f(x - 2)\lt f(1 - x)$，
所以$x - 2\lt1 - x$，解得$x\lt\frac{3}{2}$. ②
由①②得$0\leq x\lt\frac{3}{2}$，所以满足题意的$x$的取值范围为$[0,\frac{3}{2})$.

答案：

例7
若函数$f(x)=\begin{cases}(2b - 1)x + b - 1,x\gt0\\-x^{2}+(2 - b)x,x\leq0\end{cases}$为$\mathbf{R}$上的增函数，求实数$b$的取值范围.
【思路分析】要使分段函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上为增函数，需要满足在每一段上都是单调递增的，且从左到右每一段的最大值都小于或等于后一段的最小值.
【解】要使分段函数$f(x)$为$\mathbf{R}$上的增函数，
必须使函数$g(x)=(2b - 1)x + b - 1$在$(0,+\infty)$上单调递增，
函数$h(x)=-x^{2}+(2 - b)x$在$(-\infty,0]$上单调递增，且满足$h(0)\leq g(0)$.
根据一次函数和二次函数的单调性可得$\begin{cases}2b - 1\gt0\\-\frac{2 - b}{2\times(-1)}\geq0\\0\leq b - 1\end{cases}$，
解得$1\leq b\leq2$，
即实数$b$的取值范围是$[1,2]$.

答案：