《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例 求函数$f(x)=x+\frac{1}{x}(x ＞ 0)$的单调区间.
【解】任取$x_1,x_2\in(0,+\infty)$，且$x_1 ＜ x_2$，则$f(x_1) - f(x_2)=x_1+\frac{1}{x_1}-x_2-\frac{1}{x_2}=x_1 - x_2+\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2}=(x_1 - x_2)\cdot(1 - \frac{1}{x_1x_2})=\frac{(x_1 - x_2)(x_1x_2 - 1)}{x_1x_2}$.
$\because x_1 ＜ x_2$，$\therefore x_1 - x_2 ＜ 0$. $\because x_1,x_2\in(0,+\infty)$，$\therefore x_1x_2 ＞ 0$.
①当$x_1,x_2\in(0,1)$时，$0 ＜ x_1x_2 ＜ 1$，$\therefore x_1x_2 - 1 ＜ 0$，$\therefore f(x_1) - f(x_2) ＞ 0$，即$f(x_1) ＞ f(x_2)$，$\therefore f(x)=x+\frac{1}{x}$在$(0,1)$上单调递减.
②当$x_1,x_2\in(1,+\infty)$时，$x_1x_2 ＞ 1$，$\therefore x_1x_2 - 1 ＞ 0$，$\therefore f(x_1) - f(x_2) ＜ 0$，即$f(x_1) ＜ f(x_2)$，
$\therefore f(x)=x+\frac{1}{x}$在$(1,+\infty)$上单调递增.
综上所述，$f(x)=x+\frac{1}{x}(x ＞ 0)$的单调递减区间为$(0,1)$，单调递增区间为$[1,+\infty)$.

答案：