《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

1. 三个正数的基本不等式
若a,b,c＞0,
则有a³ + b³ + c³≥3abc⇒{ (a + b + c)/3≥³√abc,①;abc≤((a + b + c)/3)³,② }
当且仅当a = b = c时,等号成立. 其中,不等式①表明三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

答案：

2. n个正数的基本不等式
对于n个正数a₁,a₂,a₃,⋯,aₙ,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即(a₁ + a₂ + a₃ + ⋯ + aₙ)/n≥ⁿ√(a₁a₂a₃·⋯·aₙ)(当且仅当a₁ = a₂ = a₃ = ⋯ = aₙ时,等号成立).
总结 设x,y,z都是正数,则有
(1)若xyz = P(定值),则当x = y = z时,x + y + z有最小值3³√P.
(2)若x + y + z = S(定值),则当x = y = z时,xyz有最大值S³/27.

答案：

例1
设函数$y = x+\frac{1}{x}(x\ne0)$，求$y$的取值范围.
【错解】由基本不等式可得$y = x + \frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}} = 2$，当且仅当$x = \frac{1}{x}$，即$x = \pm1$时，等号成立，所以$y\geqslant2$或$y\leqslant - 2$.
【错因分析】解答过程没有考虑基本不等式使用条件“一正”，忽略对$x$符号的讨论.
【正解】①当$x＞0$时，$y = x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}} = 2$，当且仅当$x = \frac{1}{x}$，即$x = 1$时，等号成立，此时$y\geqslant2$；
②当$x＜0$时，可知$-x＞0$，$y = - \left[(-x)+\frac{1}{(-x)}\right]\leqslant - 2\sqrt{(-x)\cdot\frac{1}{(-x)}} = - 2$，当且仅当$x = \frac{1}{x}$，即$x = - 1$时，等号成立，此时$y\leqslant - 2$.
综上，$y\geqslant2$或$y\leqslant - 2$.
【易错警示】运用基本不等式求最值时，解题错误的真正原因是忽视前提“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.
“一正”是首先要判断变量(含变量的代数式)是不是正数，若是正数，则可直接用基本不等式求解；若不是正数，则需先变形为正数，再利用基本不等式求解.

答案：