《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例2
(多选)[山东淄博2024高一期末]如图，已知 $U$表示全集，$A$，$B$是 $U$的两个子集，则阴影部分可表示为 ( )
$　　　　　　$
A. $(\complement_{U}A)\cap B$
B. $\complement_{U}(A\cap B)$
C. $\complement_{B}(A\cap B)$
D. $\complement_{(A\cup B)}A$
【解析】在阴影部分区域内任取一个元素 $x$，则 $x\notin A$且 $x\in B$，即 $x\in\complement_{U}A$且 $x\in B$，所以阴影部分可表示为$(\complement_{U}A)\cap B$，故A正确；
$x\in B$且 $x\notin(A\cap B)$，阴影部分可表示为$\complement_{B}(A\cap B)$，故C正确；
$x\in(A\cup B)$且 $x\notin A$，阴影部分可表示为$\complement_{(A\cup B)}A$，故D正确；
显然，阴影部分区域所表示的集合为$\complement_{U}(A\cap B)$的真子集，故B错误。
【答案】ACD
关键点拨 在研究比较抽象的集合之间的关系时，通常作出Venn图，将抽象问题直观化，用重叠区域表示集合间的交集运算，通过合并区域表示集合间的并集运算。

答案：

例3
　　(1)[天津南开区2024高一月考]已知全集U={0,1,2,3}，且∁UA={2}，则集合A的非空真子集的个数为　　　　　　　　　(　　　)　
A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.8

答案： [解析]
(1)
∵全集U={0,1,2,3}，且∁UA={2}，
∴A={0,1,3}，
∴集合A的非空真子集共有2³−2=6(个).故选B.[答案]
(1)B

　　(2)[河南新高中创新联盟2024高一调研]已知集合A={-3,-2,0,2}，B={x||x - 1|＜2}，则A∩B中元素的个数为　　　　　(　　　)　　
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4

　解析：　(2)∵A={-3,-2,0,2}，B={x||x - 1|＜2}={x|-1＜x＜3}，∴A∩B={0,2}.故选B.　
　答案：(2)B　
[关键点拨]若一个集合中含有n个元素，则该集合的子集有2ⁿ个；真子集有(2ⁿ−1)个；非空子集有(2ⁿ−1)个；非空真子集有(2ⁿ−2)个.

答案：

例4　　
[广西玉林北流四校2024高一期中联考]已知集合A={x|1＜x＜2}，B={x|m - 2＜x＜2m}.
　　(1)当m = 2时，求A∩B.
　　(2)若________，求实数m的取值范围(在①A∪B = A，②A∩B = A这两个条件中任选一个填入题干横线中并解答).
[解](1)当m = 2时，B={x|0＜x＜4}，
∵A={x|1＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}.
　　　　(2)若选①A∪B = A，则B⊆A.
　　　　当B = ∅时，m - 2≥2m，∴m≤ - 2；
　　　　　　　　　　m - 2＜2m，
　　　　当B≠∅时，可得{m - 2≥1，不等式组无解.
　　　　　　　　　　2m≤2,
　　　　综上，实数m的取值范围是{m|m≤ - 2}.
　　　　若选②A∩B = A，则A⊆B，∴B≠∅.
　　　　　m - 2＜2m,
　　　∴{m - 2≤1，解得1≤m≤3,
　　　　　2m≥2,
　　　　∴ 实数m的取值范围是{m|1≤m≤3}.

答案：