《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例3
求下列函数的定义域.
(1)y = $\frac{x³ + x²}{x}$； (2)y = $\sqrt{x - 1}$·$\sqrt{1 - x}$；
(3)y = $\frac{\sqrt{-x}}{2x² - 3x - 2}$； (4)y = $\frac{(x + 1)^0}{\sqrt{|x| - x}}$.
【解】(1)由题意知x≠0，∴ 其定义域为{x|x∈R,且x≠0}(注意：与函数y = x² + x的定义域不同).
(2)由题意，知{x - 1≥0,1 - x≥0,
∴ x = 1，∴ 其定义域为{x|x = 1}.
(3)由题意，
知{-x≥0,2x² - 3x - 2≠0,即{x≤0,x≠2且x≠ - $\frac{1}{2}$,
∴ 其定义域为{x|x≤0,且x≠ - $\frac{1}{2}$}.用区间表示为(-∞,-$\frac{1}{2}$)∪(-$\frac{1}{2}$,0].
(4)根据函数有意义的条件可得，{x + 1≠0,|x| - x＞0,
解得x＜0，且x≠ - 1，∴ 其定义域为{x|x＜0,且x≠ - 1}.用区间表示为(-∞,-1)∪(-1,0).

答案：

例4
[贵州贵阳一中2024高一质量监测]为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD，修建一个羊驼养殖场，规定矩形区域ABCD的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设AB = x(单位：米)，养殖区域EFGH的面积为S(单位：平方米).

(1)将S表示为x的函数，并写出x的取值范围.
(2)当AB为多长时，S取得最大值？并求出最大值.
【解】(1)因为AB = x，
所以AD = $\frac{100}{x}$，FG = $\frac{100}{x}$ - 1，EF = x - 2，
则S = (x - 2)($\frac{100}{x}$ - 1) = 102 - x - $\frac{200}{x}$.
因为0＜x≤20，0＜$\frac{100}{x}$≤20，
所以5≤x≤20.
(2)由(1)可知，S = 102 - x - $\frac{200}{x}$≤102 - 2$\sqrt{x·\frac{200}{x}}$ = 102 - 20$\sqrt{2}$，当且仅当x = $\frac{200}{x}$，即x = 10$\sqrt{2}$时，等号成立(提示：基本不等式)，所以当AB长为10$\sqrt{2}$米时，S取得最大值，最大值为102 - 20$\sqrt{2}$平方米.

答案：