《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例6
　　已知集合$A = \{x|ax^{2}-3x - 4 = 0,x\in\mathbf{R}\}$.
　　(1)当$A$中有且只有一个元素时，求$a$的值，并求此元素；　　　　　　　　e视频微课
　　(2)当$A$中有两个元素时，求$a$满足的条件；
　　(3)当$A$中至少有一个元素时，求$a$满足的条件.
[解](1)$A$中有且只有一个元素，要分方程$ax^{2}-3x - 4 = 0$是一次方程还是二次方程来解决.
　　若是一次方程，
　　则有且只有一个根；
　　若是二次方程，
　　则有两个相等的实数根.
　　①当$a = 0$时，方程$-3x - 4 = 0$的根为$x = -\frac{4}{3}$；
　　②当$a\neq0$时，由$\Delta = (-3)^{2}-4a\cdot(-4)=0$，得$a = -\frac{9}{16}$，此时方程的两个相等的根为$x_{1}=x_{2}=-\frac{8}{3}$.
　　综上，当$a = 0$时，集合$A$中的元素为$-\frac{4}{3}$；
　　当$a = -\frac{9}{16}$时，集合$A$中的元素为$-\frac{8}{3}$.
　　(2)集合$A$中有两个元素，即方程$ax^{2}-3x - 4 = 0$有两个不相等的实数根.
　　所以$\begin{cases}a\neq0,\\\Delta = 9 + 16a＞0,\end{cases}$解得$a＞-\frac{9}{16}$且$a\neq0$.
　　(3)集合$A$中有一个元素或两个元素.
　　当集合$A$中有两个元素时，由(2)得$a＞-\frac{9}{16}$且$a\neq0$；当集合$A$中有一个元素时，由(1)得$a = 0$或$a = -\frac{9}{16}$.
　　综上，当$A$中至少有一个元素时，$a$满足的条件是$a\geqslant-\frac{9}{16}$.
　　关键点拨集合应用的一个典型问题：把集合的共同特征或若干元素用含有参数的式子表示出来，同时已知集合中特定元素或元素个数，求参数的值或取值范围.解决这类问题的关键是将集合问题转化为方程问题.
　　(1)集合的方程化：通过集合的表示方法，明确集合中的元素是什么，依据已知条件，确定等量关系，列出方程.
　　(2)求解有关方程：由于方程常有多个解，解方程时要结合集合中元素限定的条件，一般要对方程中最高次项系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果.

答案：