《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例2
给定一组函数解析式：①$y = x^{\frac{3}{4}}$；②$y = x^{\frac{2}{3}}$；③$y = x^{-\frac{3}{2}}$；④$y = x^{-\frac{2}{3}}$；⑤$y = x^{\frac{3}{2}}$；⑥$y = x^{-\frac{1}{3}}$；⑦$y = x^{\frac{1}{3}}$和一组函数图象，请把图象对应的解析式的序号填在图象下面的括号内.
$\begin{img class="box_img" from="ques" alt="" page="100" src="https://thumb.zyjl.cn/pic18/2025-02-20/c9e90abfc713c252d271cae32827ddf5.jpg?x-oss-process=image/crop,x_268,y_1377,w_605,h_212/contrast,3" /＞$
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$\begin{img class="box_img" from="ques" alt="0lx0x0x" page="100" src="https://thumb.zyjl.cn/pic18/2025-02-20/c9e90abfc713c252d271cae32827ddf5.jpg?x-oss-process=image/crop,x_195,y_1636,w_749,h_182/contrast,3" /＞$ (　　)　　　(　　)　　　(　　)　　　(　　)
【解析】(提示：先区分幂指数的正负. 若是正指数，再与$1$比较大小，若是负指数，再区分奇偶性，就可找到图象对应的函数)观察前三个图象，由于在第一象限内，函数值随$x$的增大而减小，则幂指数$\alpha$应小于零.
其中第一个函数图象关于原点对称，第二个函数图象关于$y$轴对称，而第三个图象对应的函数的定义域为$(0,+\infty)$，所以第一个图象对应⑥$y = x^{-\frac{1}{3}}$，第二个图象对应④$y = x^{-\frac{2}{3}}$，第三个图象对应③$y = x^{-\frac{3}{2}}$.
后四个图象都过$(0,0)$和$(1,1)$两点，故$\alpha＞0$. 第四个图象关于$y$轴对称，第五个图象关于原点对称，且它们对应的函数的定义域都是$\mathbf{R}$，所以第四个图象对应②$y = x^{\frac{2}{3}}$，第五个图象对应⑦$y = x^{\frac{1}{3}}$.
最后两个图象对应的函数的定义域为$[0,+\infty)$，第六个图象呈上凸状，$\alpha$应小于$1$，第七个图象呈下凸状，$\alpha$应大于$1$，
故第六个图象对应①$y = x^{\frac{3}{4}}$，第七个图象对应⑤$y = x^{\frac{3}{2}}$.

答案：

　例3
　　(多选)[河南新乡九师联盟2024高一月考]关于幂函数$f(x)=(m - 1)x^{-m}$，下列结论正确的有　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.$f(x)$的图象经过原点
B.$f(x)$为偶函数
　　
C.$f(x)$的值域为$(0,+\infty)$
　　
D.$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递增

答案：