《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例1
(多选)[河南郑州2024高一月考]已知函数$f(x)=\begin{cases}2^{(x + 2)^2},x\leq - 1\\|\log_2(x + 1)|,x ＞ - 1\end{cases}$，若关于$x$的方程$f(x)=m$有四个不等实根$x_1,x_2,x_3,x_4(x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4)$，则下列结论正确的是 （ ）
A. $1 ＜ m\leq 2$
B. $- 3 ＜ x_1 ＜ - 2$
C. $4x_3 + x_4 ＞ - 1$
D. $x_1^2 + x_2^2 + \log_m\sqrt{2}$的最小值为$10$
[解析]由题知，$f(x)=\begin{cases}2^{(x + 2)^2},x\leq - 1\\|\log_2(x + 1)|,x ＞ - 1\end{cases}$的函数图象如图所示。

根据图象知，$f(-1)=2,f(-2)=1$，故$1 ＜ m\leq 2$，A正确；
$x_1 + x_2 = - 4$，$-3\leq x_1 ＜ - 2$，B错误；
$\log_2(x_3 + 1)=-\log_2(x_4 + 1)$，化简得$\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=-1$，$-1 ＜ x_3 ＜ 0 ＜ x_4\leq 3$，则$4x_3 + x_4 = 4x_3+\frac{1}{x_3 + 1}-1=4(x_3 + 1)+\frac{1}{x_3 + 1}-5\geq 2\sqrt{4(x_3 + 1)\cdot\frac{1}{x_3 + 1}}-5=-1$，当且仅当$4(x_3 + 1)=\frac{1}{x_3 + 1}$，即$x_3 = -\frac{1}{2}$时等号成立，而当$x_3 = -\frac{1}{2}$时，$x_4 = 1$，$f(-2)=1=f(-\frac{1}{2})=f(1)$，此时$f(x)=1$仅有三个根，所以等号不成立，即$4x_3 + x_4 ＞ - 1$，C正确；
令$2^{(x + 2)^2}=m$，即$(x + 2)^2=\log_2m$，即$x^2 + 4x + 4-\log_2m = 0$，由一元二次方程根与系数的关系可知$\begin{cases}x_1 + x_2 = - 4\\x_1x_2 = 4-\log_2m\end{cases}$，则$x_1^2 + x_2^2 + \log_m\sqrt{2}=(x_1 + x_2)^2-2x_1x_2+\frac{1}{2}\log_m2=16 - 8 + 2\log_2m+\frac{1}{2}\log_m2=2\log_2m+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\log_2m}+8\geq 2\sqrt{2\log_2m\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{\log_2m}}+8 = 10$，当且仅当$2\log_2m=\frac{1}{2}\times\frac{1}{\log_2m}$，即$m = \sqrt{2}$时等号成立，又$1 ＜ m\leq 2$，所以$x_1^2 + x_2^2 + \log_m\sqrt{2}$的最小值为$10$，D正确。故选ACD。
[答案]ACD
关键点拨 基本函数的图象是必须掌握的。与函数有关的问题，应依据题目条件，准确画出函数的图象，灵活地应用图象解答问题。这样能使抽象复杂的代数问题变得形象直观，使问题快速获解。

答案：