《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例7
[四川成都2024高一月考]已知关于x的方程x² - 2x + a = 0.
(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1?
(2)当a为何值时，方程的一个根大于-1且小于1，另一个根大于2且小于3?
(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0?
【解】(1)如图①，二次函数y=x² - 2x + a的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x=1.
由方程x² - 2x + a = 0的一个根大于1，另一个根小于1，得1² - 2 + a＜0，解得a＜1，所以a的取值范围是{a|a＜1}.
(2)由方程x² - 2x + a = 0的一个根大于-1且小于1，另一个根大于2且小于3，作出满足题意的二次函数y=x² - 2x + a的大致图象，如图②.

由图②知$\begin{cases}1 + 2 + a＞0, \\1 - 2 + a＜0, \\4 - 4 + a＜0, \\9 - 6 + a＞0,\end{cases}$解得-3＜a＜0，
所以a的取值范围是{a|-3＜a＜0}.
(3)方程x² - 2x + a = 0的两个根都大于0，则$\begin{cases}\Delta = 4 - 4a\geq0, \\a＞0,\end{cases}$解得0＜a≤1，所以a的取值范围是{a|0＜a≤1}.

答案：