《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例6
求下列函数的值域.
(1)y = $\sqrt{x}$ - 2； (2)y = $\frac{x² - x}{x² - x + 1}$；
(3)y = x - $\sqrt{1 - 2x}$； (4)y = $\frac{x² - 4x + 3}{2x² - x - 1}$；
(5)y = $\frac{x² + 8}{x - 1}$(x＞1).
【解】(1)(观察法)因为$\sqrt{x}$≥0，
所以$\sqrt{x}$ - 2≥ - 2.故值域为[-2,+∞).
(2)方法一(配方法)：因为y = 1 - $\frac{1}{x² - x + 1}$，且x² - x + 1 = (x - $\frac{1}{2}$)² + $\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，所以0＜$\frac{1}{x² - x + 1}$≤$\frac{4}{3}$，所以-$\frac{1}{3}$≤y＜1.故函数的值域为[-$\frac{1}{3}$,1).
方法二(判别式法)：因为x² - x + 1 = (x - $\frac{1}{2}$)² + $\frac{3}{4}$＞0，所以函数y = $\frac{x² - x}{x² - x + 1}$的定义域为R.由原式整理可得y(x² - x + 1) = x² - x，
即(y - 1)x² - (y - 1)x + y = 0.
①当y = 1时，方程无解；
②当y≠1时，所求函数的值域需要使得方程有解，即Δ = (y - 1)² - 4y(y - 1)≥0，
解得-$\frac{1}{3}$≤y＜1.
综上，函数y = $\frac{x² - x}{x² - x + 1}$的值域为[-$\frac{1}{3}$,1).
(3)(换元法)令$\sqrt{1 - 2x}$ = t，
则t≥0，且x = $\frac{1 - t²}{2}$，
所以y = -$\frac{1}{2}$(t + 1)² + 1≤$\frac{1}{2}$(t≥0).
故函数的值域为(-∞,$\frac{1}{2}$].
(4)方法一(分离常数法)：y = $\frac{x² - 4x + 3}{2x² - x - 1}$ = $\frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 1)(2x + 1)}$ = $\frac{x - 3}{2x + 1}$，其中x≠1且x≠ - $\frac{1}{2}$，
$\frac{x - 3}{2x + 1}$ = $\frac{\frac{1}{2}(2x + 1) - \frac{7}{2}}{2x + 1}$ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2(2x + 1)}$，
当x = 1时，$\frac{x - 3}{2x + 1}$ = $\frac{1 - 3}{2×1 + 1}$ = -$\frac{2}{3}$.
又因为$\frac{7}{2(2x + 1)}$≠0，所以y = $\frac{x - 3}{2x + 1}$≠$\frac{1}{2}$.故函数的值域为(-∞,-$\frac{2}{3}$)∪(-$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{2}$)∪($\frac{1}{2}$,+∞).
方法二(反表示法)：由y = $\frac{x - 3}{2x + 1}$，且x≠1，x≠ - $\frac{1}{2}$，得(2x + 1)y = x - 3，化简整理得x = $\frac{y + 3}{1 - 2y}$，
且x≠1，x≠ - $\frac{1}{2}$，y≠$\frac{1}{2}$，则{$\frac{y + 3}{1 - 2y}$≠1,$\frac{y + 3}{1 - 2y}$≠ - $\frac{1}{2}$,y≠$\frac{1}{2}$,
解得{y≠ - $\frac{2}{3}$,y≠$\frac{1}{2}$, 故函数值域为(-∞,-$\frac{2}{3}$)∪(-$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{2}$)∪($\frac{1}{2}$,+∞).
(5)(基本不等式法)因为x＞1，所以x - 1＞0，
所以y = $\frac{x² + 8}{x - 1}$ = $\frac{(x - 1)² + 2(x - 1) + 9}{x - 1}$ = x - 1 + $\frac{9}{x - 1}$ + 2≥2$\sqrt{(x - 1)·\frac{9}{x - 1}}$ + 2 = 8，
当且仅当x - 1 = $\frac{9}{x - 1}$，即x = 4时，等号成立，
即y取得最小值8.
故函数的值域为[8,+∞).

答案：