《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例8
关于x的不等式(1 + m)x²+mx+m＜x²+1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围.
【解】原不等式等价于mx²+mx+m - 1＜0对x∈R恒成立.
当m = 0时，-1＜0对x∈R恒成立；
当m≠0时，由题意得$\begin{cases}m＜0, \\m² - 4m(m - 1)＜0,\end{cases}$
解得m＜0.
综上，实数m的取值范围为{m|m≤0}.

答案：

例9
[四川内江六中2024高一期中]“a≥5”是“x² - 3 - a≤0(-3≤x≤2)恒成立”的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】方法一：x² - 3 - a≤0(-3≤x≤2)恒成立，
则$\begin{cases}(-3)² - 3 - a\leq0, \\2² - 3 - a\leq0,\end{cases}$解得a≥6.
易知a≥5不能推出a≥6，
而a≥6可以推出a≥5，
所以“a≥5”是“x² - 3 - a≤0(-3≤x≤2)恒成立”的必要不充分条件. 故选B.
方法二：x² - 3 - a≤0(-3≤x≤2)恒成立，
可得a≥(x² - 3)max，
令y=x² - 3,-3≤x≤2，
由二次函数的图象和性质可知ymax=(-3)² - 3 = 6，所以a≥6. 下同方法一.
【答案】B

答案：