《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例3
[江苏南通2024高一学情检测]已知关于x的不等式$x^{2}+ax + b＜0$的解集为$\{x|1＜x＜2\}$，求关于x的不等式$bx^{2}+ax + 1＞0$的解集.

答案：

例4
求不等式(x + 2)(x² - x - 12)＞0的解集.
【思路分析】利用不等式的性质可将高次不等式转化为不等式组；也可将不等式因式分解，由不等式的性质用列表法求解；还可以求出相应方程的根，由“穿针引线法”求解.
【解】方法一：原不等式可化为$\begin{cases}x + 2＞0, \\x² - x - 12＞0\end{cases}$
或$\begin{cases}x + 2＜0, \\x² - x - 12＜0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x＞-2, \\x＜-3或x＞4\end{cases}$或$\begin{cases}x＜-2, \\-3＜x＜4,\end{cases}$
即x＞4或-3＜x＜-2.
故原不等式的解集为{x|x＞4或-3＜x＜-2}.
方法二：原不等式可化为(x + 2)(x + 3)(x - 4)＞0.

由表可知，原不等式的解集为{x|x＞4或-3＜x＜-2}.
方法三：方程(x + 2)(x² - x - 12)=(x + 2)(x + 3)(x - 4)=0的根为x₁=-2,x₂=-3,x₃=4.
将-3,-2,4标在数轴上，然后用一条光滑的曲线从数轴右端的上方起，依次穿过这些根，如图所示，则不等式的解集即为曲线在数轴上方的部分对应的x的取值范围.
故原不等式的解集为{x|x＞4或-3＜x＜-2}.

答案：