《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

对数的运算，必须同底对数才能直接运算，而实际问题中往往有不同底对数的运算问题，所以引入换底公式.
换底公式：$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}(a ＞ 0$，且 $a\neq1$；$b ＞ 0$；$c ＞ 0$，且 $c\neq1)$.
例如，$\log_{6}15=\frac{\log_{3}15}{\log_{3}6}=\frac{\log_{0.5}15}{\log_{0.5}6}=\frac{\lg 15}{\lg 6}=\frac{\ln 15}{\ln 6}=\cdots$. 证明
推导 对数的运算性质的推导
设 $M = a^{m}$，$N = a^{n}(a ＞ 0$，且 $a\neq1)$，
由对数的定义可得 $\log_{a}M = m$，$\log_{a}N = n$.
(1) 易知 $MN = a^{m + n}$，则 $\log_{a}MN=\log_{a}a^{m + n}=m + n$，故 $\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N$；
(2) 易知 $\frac{M}{N}=a^{m - n}$，则 $\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}a^{m - n}=m - n$，故 $\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$；
(3) 易知 $M^{n}=(a^{m})^{n}=a^{mn}$，则 $\log_{a}M = m$，$\log_{a}M^{n}=mn$，故 $\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M$.
注意 若 $M$，$N$ 同号，则 $\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N$ 以及 $\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$ 还成立吗？
均不成立. 对数的运算性质必须在同底数时才能使用，而且必须保证每个对数都有意义.
例如，$\log_{a}[(-2)\times(-3)]=\log_{a}(-2)+\log_{a}(-3)$ 是不成立的，但是 $\log_{a}[(-2)\times(-3)]=\log_{a}6$ 是成立的.
证明 换底公式的证明(对数的定义和指数、对数的互化)
已知 $a ＞ 0$，且 $a\neq1$；$b ＞ 0$；$c ＞ 0$，且 $c\neq1$.
设 $x = \log_{a}b$，可化为指数式 $a^{x}=b$，两边同时取以 $c$ 为底的对数，得 $\log_{c}a^{x}=\log_{c}b$.
把 $\log_{c}a^{x}=x\log_{c}a$ 代入上式得 $x\log_{c}a=\log_{c}b$.
因为 $a\neq1$，所以 $\log_{c}a\neq0$，则 $x=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}=\log_{a}b$.
划重点 常用的对数换底公式
已知 $a ＞ 0$ 且 $a\neq1$，$c ＞ 0$ 且 $c\neq1$，$b ＞ 0$ 且 $b\neq1$，$m$，$n\in N^{*}$.
(1)$\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{\log_{c}b^{n}}{\log_{c}a^{m}}=\frac{n\log_{c}b}{m\log_{c}a}=\frac{n}{m}\log_{a}b$；
(2)$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}=\frac{1}{\frac{\log_{c}a}{\log_{c}b}}=\frac{1}{\log_{b}a}$；
(3)$\log_{a}b\cdot\log_{b}c\cdot\log_{c}a=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\cdot\frac{\log_{c}c}{\log_{c}b}\cdot\log_{c}a = 1$.
方法 换底公式的应用
换底公式的本质是改变对数的底数，将不同的底数转化为相同的底数，进行化简、计算以及证明.

答案：