《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例2
已知函数$f(x)=\log_4(4^x + 1)+kx(k\in\mathbf{R})$，且满足$f(-1)=f(1)$。
(1)求$k$的值。
(2)若函数$y = f(x)$的图象与直线$y=\frac{1}{2}x + a$没有公共点，求实数$a$的取值范围。
(3)若函数$h(x)=4^{f(x)+\frac{x}{2}}+m\cdot2^x - 1$，$x\in[0,\log_23]$，是否存在实数$m$，使得$h(x)$的最小值为$0$？若存在，求出$m$的值；若不存在，请说明理由。
[思路分析](1)根据$f(-1)=f(1)$，求出$k$的值即可；(2)令$g(x)=\log_4(4^x + 1)-x$，问题转化为函数$y = g(x)$的图象与直线$y = a$无公共点，根据函数的单调性求出实数$a$的取值范围即可；(3)根据二次函数的性质通过讨论$m$的取值范围，结合函数的最小值，求出$m$的值即可。
[解](1)$\because f(-1)=f(1)$，即$\log_4(4^{-1}+1)-k=\log_4(4 + 1)+k$，则$2k=\log_4\frac{5}{4}-\log_45=\log_4\frac{1}{4}=-1$，$\therefore k = -\frac{1}{2}$。
(2)由题意知方程$\log_4(4^x + 1)-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x + a$无解，即方程$a=\log_4(4^x + 1)-x$无解。
令$g(x)=\log_4(4^x + 1)-x$，则函数$y = g(x)$的图象与直线$y = a$无公共点。
$\because g(x)=\log_4(4^x + 1)-x=\log_4\frac{4^x + 1}{4^x}=\log_4(1+\frac{1}{4^x})$，
任取$x_1,x_2\in\mathbf{R}$，且$x_1 ＜ x_2$，则$0 ＜ 4^{x_1} ＜ 4^{x_2}$，$\therefore\frac{1}{4^{x_1}}＞\frac{1}{4^{x_2}}＞0$，
$\therefore g(x_1)-g(x_2)=\log_4(1+\frac{1}{4^{x_1}})-\log_4(1+\frac{1}{4^{x_2}})＞0$，$\therefore g(x)$在$\mathbf{R}$上是减函数。
$\because 1+\frac{1}{4^x}＞1$，$\therefore g(x)=\log_4(1+\frac{1}{4^x})＞0$。
$\therefore$实数$a$的取值范围是$(-\infty,0]$。
(3)由题意得$h(x)=4^x + m\cdot2^x$，$x\in[0,\log_23]$。
令$t = 2^x$，$t\in[1,3]$，
设$\varphi(t)=t^2 + mt$，$t\in[1,3]$。
易知函数$\varphi(t)=t^2 + mt$的图象开口向上，对称轴为直线$t = -\frac{m}{2}$。
当$-\frac{m}{2}\leq 1$，即$m\geq - 2$时，$\varphi(t)_{\min}=\varphi(1)=1 + m = 0$，解得$m = - 1$；
当$1 ＜ -\frac{m}{2} ＜ 3$，即$-6 ＜ m ＜ - 2$时，$\varphi(t)_{\min}=\varphi(-\frac{m}{2})=-\frac{m^2}{4}=0$，解得$m = 0$(舍去)；
当$-\frac{m}{2}\geq 3$，即$m\leq - 6$时，$\varphi(t)_{\min}=\varphi(3)=9 + 3m = 0$，解得$m = - 3$(舍去)。
故存在$m = - 1$，使得$h(x)$的最小值为$0$。
关键点拨 本题考查对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想、分类讨论思想以及换元思想。求二次函数在闭区间上的最值问题时，结合二次函数的图象，考虑对称轴与所给区间之间的关系，往往比较直观。

答案：

例3
已知函数$f(x)=(\frac{1}{3})^x$。
(1)当$x\in[-1,1]$时，求函数$y = [f(x)]^2-2af(x)+3$的最小值$g(a)$。
(2)是否存在实数$m ＞ n ＞ 3$，使得(1)中所得函数的定义域为$[n,m]$，值域为$[n^2,m^2]$？若存在，求出$m,n$的值；若不存在，请说明理由。
[思路分析](1)由$x$的取值范围和指数函数的单调性，求出$f(x)$的值域，利用配方法化简$y = [f(x)]^2-2af(x)+3$，根据二次函数的性质对$a$进行分类讨论，由单调性求出最小值即可；(2)假设存在满足题意的$m,n$，由一次函数的单调性和题意列出方程组，化简后得到$m + n = 6$，与题干中$m ＞ n ＞ 3$矛盾，从而判断出结论不成立。
[解](1)$\because x\in[-1,1]$，
$\therefore$令$t = f(x)$，$t\in[\frac{1}{3},3]$，
$\therefore y = [f(x)]^2-2af(x)+3=t^2-2at + 3=(t - a)^2+3 - a^2=G(t)$，$t\in[\frac{1}{3},3]$。
由二次函数的性质可知，
当$a ＜ \frac{1}{3}$时，$y_{\min}=G(\frac{1}{3})=\frac{28}{9}-\frac{2a}{3}$；
当$\frac{1}{3}\leq a\leq 3$时，$y_{\min}=G(a)=3 - a^2$；
当$a ＞ 3$时，$y_{\min}=G(3)=12 - 6a$。
$\therefore$函数$y$的最小值关于$a$的解析式为
$g(a)=\begin{cases}\frac{28}{9}-\frac{2a}{3},a ＜ \frac{1}{3}\\3 - a^2,\frac{1}{3}\leq a\leq 3\\12 - 6a,a ＞ 3\end{cases}$。
(2)不存在。理由如下：
假设存在满足题意的$m,n$，$\because m ＞ n ＞ 3$，且$g(a)=12 - 6a$在$(3,+\infty)$上是减函数，又定义域为$[n,m]$，值域为$[n^2,m^2]$，
$\therefore\begin{cases}12 - 6m = n^2\\12 - 6n = m^2\end{cases}$，两式相减得$6(m - n)=(m + n)(m - n)$。
$\because m ＞ n ＞ 3$，
$\therefore m + n = 6$，但这与“$m ＞ n ＞ 3$”矛盾，
$\therefore$满足题意的$m,n$不存在。
关键点拨 本题考查了指数函数的单调性以及一次函数、二次函数性质的应用，考查配方法、分类讨论思想。解决第(2)问的关键是根据函数的单调性列出对应的方程组，通过求解方程组判断即可。

答案：