《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

$2/(1/a + 1/b)≤√ab≤(a + b)/2≤√((a² + b²)/2)(a＞0,b＞0),$当且仅当$a = b$时等号成立$,$其中$2/(1/a + 1/b),√ab,(a + b)/2,√((a² + b²)/2)$分别叫做正数$a,b$的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数$. $证明
这个不等式链揭示了两正数的倒数和、积、和、平方和之间的不等关系$,$当某一部分为定值时$,$其余三部分都能取到最值$,$且都在两数相等时取等号$,$利用这个不等式链往往能使复杂问题简单化$,$要在理解的基础上记忆和应用$.$
其几何意义如图所示$.$
$　　$$ $

拓展$ $当利用基本不等式求最大$($小$)$值时$,$若等号取不到$,$可利用函数的图象和性质等知识求解$. $例如$,$求$x + 1/x$在$x≥2$时的最小值$,$令$y = x + 1/x,$函数图象如图所示$,$易知当$x = 2$时$,ymin = 5/2. $我们常称函数$y = x + 1/x(x≠0)$为$“$对勾$”$函数$,$这个函数的图象和性质在本章中会经常用到$,$建议熟记$.$

$[$证明$]①$由$a＞0,b＞0,$
$(1/a + 1/b)/2≥√(1/a·1/b)=1/√ab,$
∴$2/(1/a + 1/b)≤√ab,$当且仅当$a = b$时$,$等号成立$.$
$②√ab≤(a + b)/2,$当且仅当$a = b$时$,$等号成立$,$知识点$1$已证$.$
$③√((a² + b²)/2) - (a + b)/2 = √((a² + b²)/2) - √(((a + b)²)/4) = √((a² + a² + b² + b²)/4) - √((a² + b² + 2ab)/4).$
∵$a² + b²≥2ab($当且仅当$a = b$时$,$等号成立$),$
∴$√((a² + b²)/2) - (a + b)/2≥0,$
∴$√((a² + b²)/2)≥(a + b)/2($当且仅当$a = b$时$,$等号成立$).$

答案：