《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

已知$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{13}$，$\alpha\in(0,\pi)$，求$\tan\alpha$的值。
【错解一】由$\begin{cases}\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{13}\\\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}\sin\alpha=\frac{12}{13}\\\cos\alpha=-\frac{5}{13}\end{cases}$或$\begin{cases}\sin\alpha=-\frac{5}{13}\\\cos\alpha=\frac{12}{13}\end{cases}$，故$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{12}{5}$或$\tan\alpha=-\frac{5}{12}$。
【错解二】由$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{13}$，可得$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{49}{169}$，则有$\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{60}{169}$，$\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=-\frac{60}{169}$，即$\frac{\tan\alpha}{\tan^{2}\alpha + 1}=-\frac{60}{169}$，解得$\tan\alpha=-\frac{5}{12}$或$\tan\alpha=-\frac{12}{5}$。
【错因分析】没有注意到条件$\alpha\in(0,\pi)$需要缩小角$\alpha$的取值范围，从而未对$\tan\alpha$的取值范围进一步研究。
【正解】因为$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{13}$，所以$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{49}{169}$，$2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{120}{169}$。
方法一(构建方程组)：因为$\alpha\in(0,\pi)$，所以$\sin\alpha＞0$，$\cos\alpha＜0$，所以$\sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt{(\sin\alpha - \cos\alpha)^{2}}=\sqrt{1 - 2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{17}{13}$。
由$\begin{cases}\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{13}\\\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{17}{13}\end{cases}$，解得$\begin{cases}\sin\alpha=\frac{12}{13}\\\cos\alpha=-\frac{5}{13}\end{cases}$，故$\tan\alpha=-\frac{12}{5}$。
方法二(弦化切)：因为$\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{60}{169}$，$\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=-\frac{60}{169}$，所以$\frac{\tan\alpha}{\tan^{2}\alpha + 1}=-\frac{60}{169}$，解得$\tan\alpha=-\frac{5}{12}$或$\tan\alpha=-\frac{12}{5}$。由$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{13}＞0$，$\alpha\in(0,\pi)$，知$|\sin\alpha|＞|\cos\alpha|$，故$\tan\alpha=-\frac{12}{5}$。

答案：

(1)若$\sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\alpha$在第四象限，求$\cos\alpha$，$\tan\alpha$的值；
(2)若$\cos\alpha=-\frac{3}{5}$，求$\sin\alpha$，$\tan\alpha$的值；
(3)若$\tan\alpha+\frac{1}{\tan\alpha}=-\frac{10}{3}$，求$\sin\alpha$，$\cos\alpha$的值。
【解】(1)$\because \sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\alpha$在第四象限，
$\therefore \cos\alpha=\sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}=\frac{1}{2}$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\sqrt{3}$。
(2)$\because \cos\alpha=-\frac{3}{5}$，
$\therefore$角$\alpha$为第二象限角或第三象限角。
①若角$\alpha$为第二象限角，则$\sin\alpha=\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}=\frac{4}{5}$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{4}{3}$；
②若角$\alpha$为第三象限角，则$\sin\alpha=-\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}=-\frac{4}{5}$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{4}{3}$。
综上，若角$\alpha$为第二象限角，则$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，$\tan\alpha=-\frac{4}{3}$；若角$\alpha$为第三象限角，则$\sin\alpha=-\frac{4}{5}$，$\tan\alpha=\frac{4}{3}$。
(3)由$\tan\alpha+\frac{1}{\tan\alpha}=-\frac{10}{3}$，可得$3\tan^{2}\alpha+10\tan\alpha + 3 = 0$，解得$\tan\alpha=-\frac{1}{3}$或$\tan\alpha=-3$，可知角$\alpha$为第二象限角或第四象限角。
①当$\tan\alpha=-\frac{1}{3}$时，由$\begin{cases}\sin\alpha=-\frac{1}{3}\cos\alpha\\\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1\end{cases}$，解得$\cos^{2}\alpha=\frac{9}{10}$。
若角$\alpha$为第二象限角，则$\cos\alpha=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\sin\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$；若角$\alpha$为第四象限角，则$\cos\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\sin\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}$。
②当$\tan\alpha=-3$时，由$\begin{cases}\sin\alpha=-3\cos\alpha\\\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1\end{cases}$，解得$\cos^{2}\alpha=\frac{1}{10}$。
若角$\alpha$为第二象限角，则$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\sin\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}$；若角$\alpha$为第四象限角，则$\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\sin\alpha=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
综上，若角$\alpha$为第二象限角，则$\sin\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\cos\alpha=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$或$\sin\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}$；若角$\alpha$为第四象限角，则$\sin\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\cos\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}$或$\sin\alpha=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$。

答案：

已知$\tan\alpha=3$，求下列各式的值。
(1)$\frac{4\sin\alpha-\cos\alpha}{3\sin\alpha+5\cos\alpha}$；
(2)$\frac{\sin^{2}\alpha-2\sin\alpha\cdot\cos\alpha-\cos^{2}\alpha}{4\cos^{2}\alpha-3\sin^{2}\alpha}$；
(3)$\frac{3}{4}\sin^{2}\alpha+\frac{1}{2}\cos^{2}\alpha$。
【解】(1)$\frac{4\sin\alpha-\cos\alpha}{3\sin\alpha+5\cos\alpha}=\frac{4\tan\alpha-1}{3\tan\alpha+5}=\frac{4\times3 - 1}{3\times3 + 5}=\frac{11}{14}$。
(2)$\frac{\sin^{2}\alpha-2\sin\alpha\cdot\cos\alpha-\cos^{2}\alpha}{4\cos^{2}\alpha-3\sin^{2}\alpha}=\frac{\tan^{2}\alpha-2\tan\alpha-1}{4 - 3\tan^{2}\alpha}=\frac{9 - 2\times3 - 1}{4 - 3\times3^{2}}=-\frac{2}{23}$。
(3)$\frac{3}{4}\sin^{2}\alpha+\frac{1}{2}\cos^{2}\alpha=\frac{\frac{3}{4}\sin^{2}\alpha+\frac{1}{2}\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{\frac{3}{4}\tan^{2}\alpha+\frac{1}{2}}{\tan^{2}\alpha + 1}=\frac{\frac{3}{4}\times9+\frac{1}{2}}{9 + 1}=\frac{29}{40}$。

答案：