《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

要得到函数$y = 2^{1 - 2x}$的图象,只需将函数$y = (\frac{1}{4})^{x}$的图象　　　　　　　　　　(　　　)
A. 向左平移$1$个单位长度
B. 向右平移$1$个单位长度
C. 向左平移$\frac{1}{2}$个单位长度
D. 向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度
[解析]函数$y = (\frac{1}{4})^{x}=(2^{-2})^{x}=2^{-2x}$,设将其图象向左平移$a$个单位长度后,得到函数$y = 2^{1 - 2x}$的图象,则$-2(x + a)=1 - 2x$,解得$a = -\frac{1}{2}$. 故将函数$y = (\frac{1}{4})^{x}$的图象向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度可以得到函数$y = 2^{1 - 2x}$的图象,故选D.
[答案]D

答案：

[福建泉州2024高一月考]已知函数$f(x)=3^{x - 1}+b$的图象不经过第二象限,则实数$b$的取值范围是________.
[解析]由题可知,$f(x)=3^{x - 1}+b$在$\mathbf{R}$上单调递增,
已知函数$y = 3^{x - 1}$的图象如图所示.
若要符合题意,需满足$f(0)=3^{-1}+b \leqslant 0$,可得$b \leqslant -\frac{1}{3}$.

[答案]$(- \infty,-\frac{1}{3}]$

答案：

[河南百师联考2024高一期末]若函数$f(x)=a^{x-\frac{b}{2}}-\frac{3}{4}(a ＞ 0,且a \neq 1,b ＞ 0)$的图象过定点$A$,且点$A$在幂函数$h(x)=(3m - 2)x^{m + 1}$的图象上,则$b = $________.
[解析]由$x-\frac{b}{2}=0$,可得$x=\frac{b}{2}$,则$f(\frac{b}{2})=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$,所以函数$f(x)$过定点$A(\frac{b}{2},\frac{1}{4})$.
因为函数$h(x)=(3m - 2)x^{m + 1}$为幂函数,所以$3m - 2 = 1$,解得$m = 1$,所以$h(x)=x^{2}$.
又点$A$在函数$h(x)$的图象上,
所以$h(\frac{b}{2})=(\frac{b}{2})^{2}=\frac{1}{4}$,即$b^{2}=1$.
因为$b ＞ 0$,所以$b = 1$.
[答案]1

答案：