《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例1
(1)判断函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}$在区间$(1,+\infty)$上的单调性，用定义法证明.
(2)已知函数$f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}(x\gt0)$，求$f(x)$的单调区间.
【解】(1)函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}$在区间$(1,+\infty)$上单调递减，证明如下：
任取$x_{1},x_{2}\in(1,+\infty)$，且$x_{1}\lt x_{2}$，
则$f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{1}{x_{1}^{2}-1}-\frac{1}{x_{2}^{2}-1}$
$=\frac{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{(x_{1}^{2}-1)(x_{2}^{2}-1)}$
$=\frac{(x_{2}+x_{1})(x_{2}-x_{1})}{(x_{1}^{2}-1)(x_{2}^{2}-1)}$.
$\because x_{1}\lt x_{2}$，$\therefore x_{2}-x_{1}\gt0$.
又$\because x_{1},x_{2}\in(1,+\infty)$，$\therefore x_{2}+x_{1}\gt0$，$x_{1}^{2}-1\gt0$，$x_{2}^{2}-1\gt0$，
$\therefore \frac{(x_{2}+x_{1})(x_{2}-x_{1})}{(x_{1}^{2}-1)(x_{2}^{2}-1)}\gt0$，即$f(x_{1})\gt f(x_{2})$.
$\therefore$函数$f(x)$在区间$(1,+\infty)$上单调递减.
(2)任取$x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)$，且$x_{1}\lt x_{2}$，则
$f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{x_{1}}{x_{1}^{2}+1}-\frac{x_{2}}{x_{2}^{2}+1}=\frac{x_{1}(x_{2}^{2}+1)-x_{2}(x_{1}^{2}+1)}{(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)}=\frac{(x_{2}-x_{1})(x_{1}x_{2}-1)}{(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)}$.
$\because x_{1}^{2}+1\gt0$，$x_{2}^{2}+1\gt0$，$x_{2}-x_{1}\gt0$，
$\therefore$当$x_{1},x_{2}\in(0,1)$时，$x_{1}x_{2}-1\lt0$，则$f(x_{1})-f(x_{2})\lt0$，即$f(x_{1})\lt f(x_{2})$，$\therefore$函数$y = f(x)$在$(0,1)$上单调递增.
当$x_{1},x_{2}\in[1,+\infty)$时，$x_{1}x_{2}-1\gt0$，则$f(x_{1})-f(x_{2})\gt0$，即$f(x_{1})\gt f(x_{2})$，$\therefore$函数$y = f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递减.
综上所述，$f(x)$的单调递增区间为$(0,1)$，单调递减区间为$[1,+\infty)$.

答案：

例2
[广东广州2024高一期中]已知函数$f(x)=\frac{x + 2}{x - 1}$，则函数$f(x)$ ( )
A. 在$(-2,+\infty)$上单调递增
B. 在$(-2,+\infty)$上单调递减
C. 在$(1,+\infty)$上单调递增
D. 在$(1,+\infty)$上单调递减
【思路分析】先将$f(x)$分离常数得$f(x)=1+\frac{3}{x - 1}$，再根据反比例函数的性质进行求解即可.
【解析】$f(x)=\frac{x + 2}{x - 1}=\frac{x - 1+3}{x - 1}=1+\frac{3}{x - 1}(x\neq1)$.
方法一：(提示：借助反比例函数的单调性和单调区间)因为反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\gt0)$在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递减，所以有$x - 1\lt0$或$x - 1\gt0$，解得$x\lt1$或$x\gt1$，即函数$f(x)=\frac{x + 2}{x - 1}$在$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$上单调递减.
方法二：(提示：借助函数关系和图象变换)函数$f(x)$的图象可由反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到. 因为函数$y=\frac{3}{x}$在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递减，所以函数$f(x)=\frac{x + 2}{x - 1}$在$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$上单调递减.
【答案】D

答案：