《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例2
（多选）[湖北咸宁2024高一阶段考]已知$x,y,z$为非零实数，代数式$\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+\frac{|xyz|}{xyz}$的值所组成的集合是$M$，则下列判断正确的是 （ ）
A. $0\notin M$
B. $2\in M$
C. $-4\in M$
D. $4\in M$
【解析】当$x,y,z$同为正数时，代数式的值为4；当$x,y,z$中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当$x,y,z$同为负数时，代数式的值为 -4. 故选CD.
【答案】CD
题型分析 多选题是高考数学中最不易得满分的题型之一，除了一一确定每个选项的正误，我们还可以举特例验证选项的正误、根据选项间的关系（如等价、互斥、递进等）进行间接判断或运用二级结论快速判断等，主要考查了对知识和方法的掌握程度，解答时可有策略地灵活分析.
易错警示 注意理解集合中元素的性质，明确集合中元素的确定性，以及元素与集合的关系，可进行适当变形，或者写出一些集合中的元素进行比较（注意尽可能多写且要注意特殊元素）.

答案：

例1
已知集合$A$是由元素$x$组成的，其中$x = m + n\sqrt{2},m,n\in Z$.
（1）设$x_{1}=\frac{1}{3 - 4\sqrt{2}},x_{2}=\sqrt{9 - 4\sqrt{2}},x_{3}=(1 - 3\sqrt{2})^{2}$，试判断$x_{1},x_{2},x_{3}$与$A$之间的关系；
（2）任取$x_{1},x_{2}\in A$，试判断$x_{1}+x_{2},x_{1}x_{2}$与$A$之间的关系.
【解】（1）$\because x_{1}=\frac{1}{3 - 4\sqrt{2}}=-\frac{3}{23}-\frac{4\sqrt{2}}{23}$，
$\therefore x_{1}\notin A$.
$\because x_{2}=\sqrt{9 - 4\sqrt{2}}=\sqrt{9 - 2\sqrt{8}}=\sqrt{8 - 2\sqrt{8}+1}=\sqrt{(\sqrt{8}-1)^{2}}=\sqrt{8}-1=-1 + 2\sqrt{2}$，
$\therefore x_{2}\in A$.
$\because x_{3}=(1 - 3\sqrt{2})^{2}=19 - 6\sqrt{2}$，
$\therefore x_{3}\in A$.
综上，$x_{1}\notin A,x_{2}\in A,x_{3}\in A$.
（2）任取$x_{1},x_{2}\in A$，设$x_{1}=m_{1}+n_{1}\sqrt{2},x_{2}=m_{2}+n_{2}\sqrt{2}(m_{1},n_{1},m_{2},n_{2}\in Z)$，
则$x_{1}+x_{2}=m_{1}+n_{1}\sqrt{2}+m_{2}+n_{2}\sqrt{2}=m_{1}+m_{2}+(n_{1}+n_{2})\sqrt{2}$，
其中$m_{1}+m_{2},n_{1}+n_{2}\in Z$，$\therefore x_{1}+x_{2}\in A$.
$\because x_{1}x_{2}=(m_{1}+n_{1}\sqrt{2})(m_{2}+n_{2}\sqrt{2})=m_{1}m_{2}+2n_{1}n_{2}+(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})\sqrt{2}$，
其中$m_{1}m_{2}+2n_{1}n_{2},m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}\in Z$，
$\therefore x_{1}x_{2}\in A$.
综上，$x_{1}+x_{2}\in A,x_{1}x_{2}\in A$.
关键点拨 审题时主要注意三个方面，即题目中给了什么、最后要求什么、中间还差了什么，先结合题目中给出的已知条件，逐步推理分析，再依据所求目标进行思考和联想，挖掘出隐藏在条件和结论中的“桥梁”，最后完成整道题目的解答探究.

答案：