《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例7
[山东枣庄2024高一月考]已知函数f(x) = $\sqrt{(1 - a²)x² + 3(1 - a)x + 6}$.
(1)当a = 0时，求f(x)的值域；
(2)若f(x)的定义域为[-2,1]，求实数a的值；
(3)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.
【解】(1)(提示：配方法求值域)当a = 0时，
f(x) = $\sqrt{x² + 3x + 6}$ = $\sqrt{(x + \frac{3}{2})² + \frac{15}{4}}$≥$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
所以f(x)的值域为[$\frac{\sqrt{15}}{2}$,+∞).
(2)因为f(x)的定义域为[-2,1]，所以-2和1是方程(1 - a²)x² + 3(1 - a)x + 6 = 0的两个根，
则有-2 + 1 = $\frac{3(a - 1)}{1 - a²}$，-2×1 = $\frac{6}{1 - a²}$(提示：一元二次方程根与系数的关系)，
解得a = 2，经检验符合题意，故a = 2.
(3)(提示：注意分类讨论)①当a = 1时，
f(x) = $\sqrt{6}$，定义域为R，符合题意；
②当a = -1时，f(x) = $\sqrt{6x + 6}$，定义域不为R，不符合题意；
③当1 - a²≠0时，由题可知(1 - a²)x² + 3(1 - a)x + 6≥0在R上恒成立，
则{1 - a²＞0,Δ = 9(1 - a)² - 24(1 - a²)≤0,
解得-$\frac{5}{11}$≤a＜1.
综上所述，实数a的取值范围是[-$\frac{5}{11}$,1].

答案：

例8
若函数f(x) = $\frac{ax + b}{x² + 1}$的值域为[-1,4]，求实数a，b的值.
【思路分析】先设y = $\frac{ax + b}{x² + 1}$，然后将该函数整理成关于x的方程，该方程有实数根，所以对应的判别式Δ≥0，这样便可求出y的取值范围，即原函数的值域.又已知值域是[-1,4]，故可根据一元二次方程根与系数的关系求出a，b.
【解】设y = $\frac{ax + b}{x² + 1}$.去分母，得yx² - ax + y - b = 0.
当y = 0时，显然在函数的值域[-1,4]内；
当y≠0时，x∈R，∴ Δ = (-a)² - 4y(y - b)≥0，即4y² - 4by - a²≤0.
已知其解集为{y|-1≤y≤4}，
∴ 关于y的方程4y² - 4by - a² = 0的两个根分别为-1,4.
由一元二次方程根与系数的关系，得b = -1 + 4 = 3，-$\frac{a²}{4}$ = -1×4，∴ a² = 16，a = ±4. ∴ a = 4，b = 3或a = -4，b = 3.

答案：