《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例1
求函数$f(x)=\sqrt{x^{2}+x - 6}$的单调区间.
【错解】设$u = x^{2}+x - 6=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{25}{4}$，
$u$是关于$x$的二次函数，其图象开口向上，且对称轴为直线$x = -\frac{1}{2}$，
$\therefore$当$x\in(-\infty,-\frac{1}{2}]$时，$f(x)$单调递减；当$x\in(-\frac{1}{2},+\infty)$时，$f(x)$单调递增，
$\therefore$函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\frac{1}{2},+\infty)$，单调递减区间为$(-\infty,-\frac{1}{2}]$.
【错因分析】错解在求单调区间时忽视了函数$f(x)=\sqrt{x^{2}+x - 6}$的定义域，即$x^{2}+x - 6\geq0$，导致错误.
【正解】由$x^{2}+x - 6=(x + 3)(x - 2)\geq0$，解得$x\geq2$或$x\leq - 3$，
$\therefore$函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,-3]\cup[2,+\infty)$.
设$u(x)=x^{2}+x - 6=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{25}{4}(x\geq2或x\leq - 3)$，其图象是开口向上，且对称轴为直线$x = -\frac{1}{2}$的二次函数图象的一部分，
$\therefore u(x)$在$(-\infty,-3]$上单调递减，在$[2,+\infty)$上单调递增.
$\because$函数$y = \sqrt{u}$在$[0,+\infty)$上单调递增，
$\therefore$函数$f(x)$的单调递减区间为$(-\infty,-3]$，单调递增区间为$[2,+\infty)$.

答案：

例2
若函数$f(x)=x^{2}+2(a - 1)x + 2$的单调递减区间是$(-\infty,4]$，求实数$a$.
【错解】$\because$函数$f(x)=x^{2}+2(a - 1)x + 2$的图象的对称轴为直线$x = 1 - a$，
且$f(x)=x^{2}+2(a - 1)x + 2$的单调递减区间是$(-\infty,4]$，
$\therefore 1 - a\geq4$，即$a\leq - 3$.
$\therefore$实数$a$的取值范围是$(-\infty,-3]$.
【错因分析】函数的单调递减区间是$I$，指的是函数单调递减的最大范围为区间$I$，而函数在某一区间上单调递减，则指此区间是相应单调递减区间的子集. 错解混淆了这两种说法的含义，从而导致错误.
【正解】$\because$函数$f(x)=x^{2}+2(a - 1)x + 2$的图象的对称轴为直线$x = 1 - a$，
且$f(x)=x^{2}+2(a - 1)x + 2$的单调递减区间是$(-\infty,4]$，
$\therefore 1 - a = 4$，即$a = - 3$，
$\therefore$实数$a$的值为$-3$.

答案：