《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例1
(1)当$x＞0$时，求$y=\frac{3 + x + x^{2}}{1 + x}$的最小值.
(2)已知$0＜x＜\frac{3}{2}$，求$x(3 - 2x)$的最大值.
(3)已知$x＜\frac{5}{4}$，求代数式$4x - 2+\frac{1}{4x - 5}$的最大值.
【解】(1)因为$x＞0$，所以$y=\frac{3 + x + x^{2}}{1 + x}=\frac{3}{1 + x}+x=\frac{3}{1 + x}+(x + 1)-1\geqslant2\sqrt{\frac{3}{1 + x}\cdot(x + 1)}-1 = 2\sqrt{3}-1$，当且仅当$\frac{3}{1 + x}=x + 1$，即$x=\sqrt{3}-1$时，等号成立，故$y_{\min}=2\sqrt{3}-1$.
(2)(提示：利用配凑法，转化为和为定值时求积的最值问题)$\because 0＜x＜\frac{3}{2}$，$\therefore 3 - 2x＞0$，$x＞0$，
$\therefore x(3 - 2x)=\frac{1}{2}\times2x(3 - 2x)\leqslant\frac{1}{2}\left(\frac{3 - 2x + 2x}{2}\right)^{2}=\frac{9}{8}$，
当且仅当$3 - 2x = 2x$，即$x=\frac{3}{4}$时取等号，
$\therefore x(3 - 2x)$的最大值为$\frac{9}{8}$.
(3)(提示：利用配凑法，转化为积为定值时求和的最值问题)$\because x＜\frac{5}{4}$，$\therefore 4x - 5＜0$，$\therefore 5 - 4x＞0$，
$\therefore 5 - 4x+\frac{1}{5 - 4x}\geqslant2\sqrt{(5 - 4x)\cdot\frac{1}{5 - 4x}} = 2$，当且仅当$5 - 4x=\frac{1}{5 - 4x}$，即$x = 1$时取等号，
$\therefore 4x - 5+\frac{1}{4x - 5}\leqslant - 2$，

$\therefore 4x - 2+\frac{1}{4x - 5}=4x - 5+\frac{1}{4x - 5}+3\leqslant - 2+3 = 1$.
故当$x = 1$时，$4x - 2+\frac{1}{4x - 5}$取得最大值1.

答案：