《2025年教材划重点高中数学必修第一册人教版》

例2
求$y=\frac{x^{2}+7x + 10}{x + 1}(x＞-1)$的最小值.
【解】因为$x＞-1$，所以$x + 1＞0$，令$t = x + 1$，$t＞0$，所以$y=\frac{(t - 1)^{2}+7(t - 1)+10}{t}=\frac{t^{2}+5t + 4}{t}=t+\frac{4}{t}+5\geqslant2\sqrt{t\cdot\frac{4}{t}}+5 = 9$，
当且仅当$t^{2}=4$，即$t = 2$，$x = 1$时等号成立，所以$y_{\min}=9$.

答案：

例3
已知$x＞0$，$y＞0$，且$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1$，求$x + y$的最小值.
【思路分析】要求$x + y$的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，可利用“1”的代换或消元法等.
【解】方法一(“1”的代换)：
$\because \frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1$，$\therefore x + y=(x + y)\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}\right)=10+\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}$.$\because x＞0$，$y＞0$，$\therefore \frac{y}{x}+\frac{9x}{y}\geqslant2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{9x}{y}} = 6$，当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{9x}{y}$，即$y = 3x$时取等号，则$x + y\geqslant16$.
又$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1$，$\therefore x = 4$，$y = 12$，
$\therefore$当$x = 4$，$y = 12$时，$x + y$取得最小值16.
方法二(消元法)：
由$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1$，得$x=\frac{y}{y - 9}$.
$\because x＞0$，$y＞0$，$\therefore y - 9＞0$，$\therefore x + y=\frac{y}{y - 9}+y=y+\frac{y - 9+9}{y - 9}=y - 9+\frac{9}{y - 9}+10$.$\because y - 9＞0$，$\therefore y - 9+\frac{9}{y - 9}\geqslant2\sqrt{(y - 9)\cdot\frac{9}{y - 9}} = 6$，
当且仅当$y - 9=\frac{9}{y - 9}$，即$y = 12$时取等号，此时$x = 4$，则$x + y\geqslant16$，
$\therefore$当$x = 4$，$y = 12$时，$x + y$取得最小值16.

答案：