《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

1.(创新考法)(2024山东临沂一模,17)如图，在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AB = BC = 2,AA_{1}=3$，点$D,E$分别在棱$AA_{1},CC_{1}$上，$AD = 2DA_{1},C_{1}E = 2EC$，$F$为$B_{1}C_{1}$的中点.
（1）在平面$ABB_{1}A_{1}$内，过$A$作一条直线与平面$DEF$平行，并说明理由；
（2）当三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$的体积最大时，求平面$DEF$与平面$ABC$夹角的余弦值.

答案：
解析
(1) 连接$AB_{1}$，直线$AB_{1}$即为所求. （1分）理由：连接$AC_{1}$交$DE$于点$M$，连接$MF,DC_{1},AE$. （2分）因为$AD = 2DA_{1},C_{1}E = 2EC$，所以$AD = C_{1}E=\frac{2}{3}AA_{1}=2$，又$AD// C_{1}E$，所以四边形$ADC_{1}E$为平行四边形，所以$AM = MC_{1}$，（4分）又$B_{1}F = FC_{1}$，所以$MF// AB_{1}$，（5分）又$MF\subset$平面$DEF,AB_{1}\not\subset$平面$DEF$，所以$AB_{1}//$平面$DEF$. （6分）
(2) 因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times2\times2\sin\angle ABC = 2\sin\angle ABC$，所以三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$的体积为$6\sin\angle ABC$，所以当$\angle ABC=\frac{\pi}{2}$时，$S_{\triangle ABC}$取得最大值，即当$AB\perp BC$时，直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$的体积最大，（7分）又因为$BB_{1}\perp AB,BB_{1}\perp BC$，所以以$B$为坐标原点，$BA,BC,BB_{1}$所在直线分别为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立空间直角坐标系，（8分）则$D(2,0,2),E(0,2,1),F(0,1,3)$，所以$\overrightarrow{DE}=(-2,2,-1),\overrightarrow{EF}=(0,-1,2)$，设平面$DEF$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，由$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DE}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{EF}=0\end{cases}$，得$\begin{cases}-2x + 2y - z = 0\\-y + 2z = 0\end{cases}$，取$z = 1$，则$y = 2,x=\frac{3}{2}$，此时$\boldsymbol{n}=(\frac{3}{2},2,1)$，（12分）易知平面$ABC$的一个法向量为$\boldsymbol{m}=(0,0,1)$，（13分）记平面$DEF$与平面$ABC$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4}+4 + 1}\times1}=\frac{2\sqrt{29}}{29}$. 故平面$DEF$与平面$ABC$夹角的余弦值为$\frac{2\sqrt{29}}{29}$. （15分）

2.(创新考法)(2024江苏南通第二次调研,17)如图，边长为4的两个正三角形$ABC,BCD$所在平面互相垂直，$E,F$分别为$BC,CD$的中点，点$G$在棱$AD$上，$AG = 2GD$，直线$AB$与平面$EFG$相交于点$H$.
（1）从下面两个结论中选一个证明：
①$BD// GH$；②直线$HE,GF,AC$相交于一点.
注：若两个问题均作答，则按第一个计分.
（2）求直线$BD$与平面$EFG$的距离.

答案：
解析
(1) 证明：选①. 因为$E,F$分别为$BC,CD$的中点，所以$EF// BD$. 又$BD\not\subset$平面$EFG,EF\subset$平面$EFG$，所以$BD//$平面$EFG$. 又$BD\subset$平面$ABD$，平面$ABD\cap$平面$EFG = GH$，所以$BD// GH$. 选②. 在$\triangle ACD$中，$AG = 2GD,F$为$CD$的中点，所以$GF$与$AC$不平行.

设$GF\cap AC = K$，则$K\in AC,K\in GF$，又$AC\subset$平面$ABC,FG\subset$平面$EFG$，所以$K\in$平面$ABC,K\in$平面$EFG$. 又平面$ABC\cap$平面$EFG = HE$，所以$K\in HE$，所以$HE,GF,AC$相交于一点.
(2) 若第（1）问中选①. 由（1）知，$BD//$平面$EFG$. 所以点$B$到平面$EFG$的距离即为$BD$与平面$EFG$的距离. 若第（1）问中选②. 因为$E,F$分别为$BC,CD$的中点，所以$EF// BD$. 又$BD\not\subset$平面$EFG,EF\subset$平面$EFG$，所以$BD//$平面$EFG$. 所以点$B$到平面$EFG$的距离即为$BD$与平面$EFG$的距离. 连接$EA,ED$，因为$\triangle ABC,\triangle BCD$均为正三角形，$E$为$BC$的中点，所以$EA\perp BC,ED\perp BC$. 又平面$ABC\perp$平面$BCD$，平面$ABC\cap$平面$BCD = BC,AE\subset$平面$ABC$，所以$AE\perp$平面$BCD$，又$ED\subset$平面$BCD$，所以$EA\perp ED$. 以$\{\overrightarrow{EB},\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EA}\}$为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，

则$E(0,0,0),B(2,0,0),F(-1,\sqrt{3},0),G(0,\frac{4\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3})$，则$\overrightarrow{EB}=(2,0,0),\overrightarrow{EF}=(-1,\sqrt{3},0),\overrightarrow{EG}=(0,\frac{4\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3})$. 设平面$EFG$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\overrightarrow{EF}\cdot\boldsymbol{n}=0\\\overrightarrow{EG}\cdot\boldsymbol{n}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}-x+\sqrt{3}y = 0\\\frac{4\sqrt{3}}{3}y+\frac{2\sqrt{3}}{3}z = 0\end{cases}$，不妨取$\boldsymbol{n}=(\sqrt{3},1,-2)$. 设点$B$到平面$EFG$的距离为$d$，则$d=\frac{|\overrightarrow{EB}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以直线$BD$与平面$EFG$的距离为$\frac{\sqrt{6}}{2}$.