《2025年5年高考3年模拟高中数学全一册人教B版》

5.(2024辽宁省三所重点中学第三次模拟,19)某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临灭绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种（分别记为A种和B种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P,统计其中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次,记第i次试验中A种的数目为随机变量$X_i$（i = 1，2，…，20）.设该区域中A种的数目为M，B种的数目为N（M，N均大于100），每一次试验均相互独立.
（1）求$X_1$的分布列.
（2）记随机变量$\overline{X}=\frac{1}{20}\sum_{i = 1}^{20}X_i$.已知E($X_i+X_j$) = E($X_i$)+E($X_j$)，D($X_i+X_j$) = D($X_i$)+D($X_j$).
（i）证明：E($\overline{X}$) = E($X_1$)，D($\overline{X}$)=$\frac{1}{20}$D($X_1$)；
（ii）该小组完成所有试验后,得到$X_i$的实际取值分别为$x_i$（i = 1，2，…，20）.数据$x_i$（i = 1，2，…，20）的平均值$\overline{x}$=30，方差$s^2$=1.采用$\overline{x}$和$s^2$分别代替E($\overline{X}$)和D($\overline{X}$)，给出M，N的估计值.
（已知随机变量X服从超几何分布记为X~H(P，n，Q)（其中P为总数，Q为某类元素的个数，n为抽取的个数），则D(X)=n$\frac{Q}{P}(1 - \frac{Q}{P})\frac{P - n}{P - 1}$）

答案：
解析
(1)依题意，X，服从超几何分布，故X，的分布列为P(X=k)=$\frac{CCN}{C100}$,k∈N,0≤k≤100.
　　　X　　　0　　　1　　　...,　　99　　100
　　　P　　$\frac{CC}{C100}$$\frac{CCN}{C100}$　　..,　　$\frac{CC}{C100}$$\frac{C1C}{C100}$
(2)(i)证明:由题可知X(i=1,2,...,20)均服从完全相同的超几何分布,所以E(X)=E(X)=...=E(X20),E(−X)=E{$\frac{1}{20}$∑20x:)=$\frac{1}{20}$E(xi)=$\frac{1}{20}$i=1E(Xi)=$\frac{1}{20}$×20E(X)=E(X,),D(x)=D($\frac{1}{20}$∑=x)=$\frac{1}{20²}$D(=1x)=$\frac{1}{20²}$∑i刘=1D(X,)=$\frac{1}{20²}$×20D(X,)=$\frac{1}{20}$D(X).故E(X)=E(X),D(x)=$\frac{1}{20}$D(X).
(ii)由(i)可知X的均值E(X)=E(X)=$\frac{100M}{M+N}$由公式得X的方差D(X1)=$\frac{100MN(M+N−100)}{(M+N)²(M+N−1)}$,所以D(x)=$\frac{5MN(M+N−100)}{(M+N)²(M+N−1)}$

解得N=1456,M=624,
所以可以估计M=624,N=1456.

(新定义理解)(2024浙江金丽衢十二校联考二,17)某工厂生产某种元件,其质量按测试指标划分为指标大于或等于82为合格品,小于82为次品,现抽取这种元件100件进行检测,检测结果统计如下表:
(1)现从这100件样品中随机抽取2件,若其中一件为合格品,求另一件也为合格品的概率.
(2)关于随机变量,俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式:若随机变量X具有数学期望E(X)=$\mu$，方差D(X)=$\sigma^2$，则对任意正数$\varepsilon$，均有P(|X - $\mu$|≥$\varepsilon$)≤$\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$成立.
(i)若X~B(100，$\frac{1}{2}$)，证明：P(0≤X≤25)≤$\frac{1}{50}$；
(ii)该结论表示即使分布未知,随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%,那么根据所给样本数据,请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信.(注:当随机事件A发生的概率小于0.05时,可称事件A为小概率事件)

答案： 解析
(1)记事件A为其中一件是合格品(注意:并不一定只有一件合格品),事件B为抽到两个合格品，P(AB)=$\frac{C70}{C}$=$\frac{161}{330}$,P(A)=$\frac{C200−C30}{C²}$=$\frac{301}{330}$,则P(BIA)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{161}{301}$=$\frac{23}{43}$.
(2)(i)证明:若x~B[100,$\frac{1}{2}$),则E(X)=50,D(X)=25,又P(X=k)=C{(($\frac{1}{2}$　=P(X=100−k),所以P(0≤X≤25)=$\frac{1}{2}$P(0≤X≤25或75≤X≤100)=$\frac{1}{2}$P(1X−501≥25),由切比雪夫不等式可知P(IX−501≥25)≤$\frac{25}{252}$=$\frac{1}{25}$,所以P(0≤X≤25)≤$\frac{1}{50}$.
(ii)设随机抽取100件产品中合格品的件数为X,假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立,则X~B(100,0.9),所以E(X)=90,D(X)=9,由切比雪夫不等式知P(X=70)≤P(IX−901≥20)≤$\frac{9}{400}$=0.0225,即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225,此概率极小，由小概率事件可知，一般来说，在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂声称的合格率不可信.